美团2024年春招第一场笔试【技术】
美团2024年春招第一场笔试【技术】:小美的平衡矩阵、小美的数组询问、小美的 MT、小美的朋友关系、小美的区间删除，涉及前缀和、模拟、并查集、离散化、数学、二分等。
小美的平衡矩阵
题目描述
小美拿到了一个 \(n \times n\) 的矩阵，其中每个元素是 \(0\) 或者 \(1\)。小美认为一个矩形区域是完美的，当且仅当该区域内 \(0\) 的数量恰好等于 \(1\) 的数量。现在，小美希望你回答有多少个 \(i \times i\) 的完美矩形区域。你需要回答 \(1 \leq i \leq n\) 的所有答案。
输入描述
第一行输入一个正整数 \(n\)，代表矩阵大小。
接下来的 \(n\) 行，每行输入一个长度为 \(n\) 的 \(01\) 串，用来表示矩阵，\(1\leq n \leq 200\)。
输出描述
输出 \(n\) 行，第 \(i\) 行输出 \(i \times i\) 的完美矩形区域的数量。
解题思路
通过二维前缀和可快速得到一个矩形区域内的 \(0\) 或 \(1\) 的个数。
令 \(dp[i][j]\) = 以 \((1,1)\) 为左上角，\((i,j)\) 为右下角的矩形中 \(1\) 的个数，则有如下递推式：
- \(dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] -dp[i-1][j-1]\)
对于一个以 \((i,j)\) 为左上角、长为 \(k\) 的矩形，其中 \(1\) 的个数为：
- \(dp[i + k][j + k] - dp[i + k][j - 1] - dp[i - 1][j + k] + dp[i - 1][j - 1]\)
代码实现
const int n = 2e2 + 5;
int dp[n][n];
char s[n];
int main() {
int n;
scanf("%d", &n);
// 输入、计算二维前缀和
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%s", s + 1);
for (int j = 1; j <= n; j++)
dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j] - dp[i - 1][j - 1] + (s[j] == '1');
}
// mp[i] = 大小为 i*i 的矩形的数量
unordered_map<int, int> mp;
// 枚举每个大小为 i*i 的矩形
for (int i = 1, t; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
for (int k = 1; i + k <= n && j + k <= n; k += 2) {
t = dp[i + k][j + k] - dp[i + k][j - 1] - dp[i - 1][j + k] + dp[i - 1][j - 1];
if (t * 2 == (k + 1) * (k + 1))mp[k + 1]++;
}
}
}
// 输出每个答案
for (int i = 1; i <= n; i++)
printf("%d\n", mp[i]);
return 0;
}
时间复杂度：\(O(n^3)\)。
空间复杂度：\(O(n^2)\)。
小美的数组询问
题目描述
小美拿到了一个由正整数组成的数组，但其中有一些元素是未知的（用 \(0\) 来表示）。现在小美想知道，如果那些未知的元素在区间 \([l,r]\) 范围内随机取值的话，数组所有元素之和的最小值和最大值分别是多少？共有 \(q\) 次询问。
输入描述
第一行输入两个正整数 \(n,q\)，代表数组大小和询问次数。
第二行输入 \(n\) 个整数 \(a_i\) ，其中如果输入的 \(a_i\) 为 \(0\)，那么说明 \(a_i\) 是未知的。
接下来的 \(q\) 行，每行输入两个正整数 \(l,r\)，代表一次询问。
- \(1\leq n,q \leq 10^5\)
- \(0 \leq a_i \leq 10^9\)
- \(1\leq l \leq r \leq 10^9\)
输出描述
输出 \(q\) 行，每行输出两个正整数，代表所有元素之和的最小值和最大值。
解题思路
选 \(l\) 得到最小值，选 \(r\) 得到最大值。
代码实现
typedef long long ll;
int main() {
int n, q, cnt = 0;
ll x, l, r, sum = 0;
scanf("%d%d", &n, &q);
while (n--) {
scanf("%lld", &x);
x == 0 ? cnt++ : sum += x;
}
while (q--) {
scanf("%lld%lld", &l, &r);
printf("%lld %lld\n", sum + l * cnt, sum + r * cnt);
}
return 0;
}
时间复杂度：\(O(n)\)。
空间复杂度：\(O(1)\)。
小美的 MT
题目描述
\(MT\) 是美团的缩写，因此小美很喜欢这两个字母。现在小美拿到了一个仅由大写字母组成字符串，她可以最多操作 \(k\) 次，每次可以修改任意一个字符。小美想知道，操作结束后最多共有多少个 \(M\) 和 \(T\) 字符？
输入描述
第一行输入两个正整数 \(n,k\)，代表字符串长度和操作次数。
第二行输入一个长度为 \(n\) 的、仅由大写字母组成的字符串。
- \(1\leq k \leq n \leq 10^5\)
输出描述
输出操作结束后最多共有多少个 \(M\) 和 \(T\) 字符。
解题思路
尽可能修改每个不是 \(M\) 或 \(T\) 的字符。
代码实现
int main() {
int n, k, cnt = 0;
char c;
scanf("%d%d\n", &n, &k);
while (n--) {
scanf("%c", &c);
if (c == 'M' || c == 'T')cnt++;
else if (k > 0)cnt++, k--;
}
printf("%d", cnt);
return 0;
}
时间复杂度：\(O(n)\)。
空间复杂度：\(O(1)\)。
小美的朋友关系
题目描述
小美认为，在人际交往中，但是随着时间的流逝，朋友的关系也是会慢慢变淡的，最终朋友关系就淡忘了。
现在初始有一些朋友关系，存在一些事件会导致两个人淡忘了他们的朋友关系。小美想知道某一时刻中，某两人是否可以通过朋友介绍互相认识？
事件共有 \(2\) 种：
- \(1\ u\ v\)：代表编号 \(u\) 的人和编号 \(v\) 的人淡忘了他们的朋友关系。
- \(2\ u\ v\)：代表小美查询编号 \(u\) 的人和编号 \(v\) 的人是否能通过朋友介绍互相认识。
输入描述
第一行输入三个正整数 \(n,m,q\)，代表总人数，初始的朋友关系数量，发生的事件数量。
接下来的 \(m\) 行，每行输入两个正整数 \(u,v\)，代表初始编号 \(u\) 的人和编号 \(v\) 的人是朋友关系。
接下来的 \(q\) 行，每行输入三个正整数 \(op,u,v\)，含义如题目描述所述。
- \(1\leq n \leq 10^9\)
- \(1\leq m,q \leq 10^5\)
- \(1\leq u,v \leq n\)
- \(1\leq op \leq 2\)
保证至少存在一次查询操作。
输出描述
对于每次 \(2\) 号操作，输出一行字符串代表查询的答案。如果编号 \(u\) 的人和编号 \(v\) 的人能通过朋友介绍互相认识，则输出"Yes"。否则输出"no"。
解题思路
- \(n\) 的规模超过 \(10^6\)，需要离散化。
- 通过并查集可快速判断两人是否为朋友关系。
- 并查集不方便删除，故采用反向并查集。对于每个淡忘操作 \((u,v)\)，若初始存在 关系\((u,v)\)，则此操作前均存在关系 \((u,v)\)，则此操作后均不存在关系 \((u,v)\)。因此，反向顺序进行操作，将删除转为添加，将结果正向输出即为答案。
代码实现
const int n = 1e5 + 5;
// 并查集
int p[n];
// 初始关系、关系记录
set<pair<int, int>> irs, rs;
// 操作
int ops[n][3];
// 离散化
int idx = 0;
unordered_map<int, int> mp;
/**
* 将编号x转换为离散化后的值
*/
int dsz(int x) {
if (mp[x] == 0)mp[x] = ++idx;
return mp[x];
}
/**
* 找到节点x所在集合的根节点
*/
int find(int x) {
if (p[x] != x)p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
/**
* 合并节点u和节点v所在两个集合
*/
void unite(int u, int v) {
int pu = find(u), pv = find(v);
if (pu != pv)p[pu] = pv;
}
int main() {
int n, m, q, op, u, v;
scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
iota(p, p + n, 0);
// 关系记录 = 初始关系
while (m--) {
scanf("%d%d", &u, &v);
u = dsz(u), v = dsz(v);
if (u > v)swap(u, v);
irs.insert({u, v});
rs.insert({u, v});
}
// 记录操作、关系记录 = 初始关系 - 淡忘关系
for (int i = 0; i < q; i++) {
scanf("%d%d%d", &op, &u, &v);
u = dsz(u), v = dsz(v);
if (u > v)swap(u, v);
ops[i][0] = op, ops[i][1] = u, ops[i][2] = v;
if (op == 1)rs.erase({u, v});
}
// 根据关系记录建立并查集
for (auto &[a, b]: rs) unite(a, b);
// 从前往后是删除关系，从后往前是添加关系
bool r[q + 1];
memset(r, 0, sizeof r);
for (int i = q - 1; i >= 0; i--) {
if (ops[i][0] == 2)r[i] = find(ops[i][1]) == find(ops[i][2]);
// 初始为朋友关系的两人才能淡化朋友关系
else if (irs.find({ops[i][1], ops[i][2]}) != irs.end())unite(ops[i][1], ops[i][2]);
}
// 输出结果
for (int i = 0; i < q; i++) {
if (ops[i][0] == 2)printf("%s\n", r[i] ? "Yes" : "no");
}
return 0;
}
时间复杂度：\(O(m+q)\)。
空间复杂度：\(O(m+q)\)。
小美的区间删除
题目描述
小美拿到了一个大小为 \(n\) 的数组，她希望删除一个区间后，使得剩余所有元素的乘积末尾至少有 \(k\) 个 \(0\)。小美想知道，一共有多少种不同的删除方案？
输入描述
第一行输入两个正整数 \(n,k\)。
第二行输入 \(n\) 个正整数 \(a_i\)，代表小美拿到的数组。
- \(1\leq n,k \leq 10^5\)
- \(1\leq a_i \leq 10^9\)
输出描述
一个整数，代表删除的方案数。
解题思路
一个 \(2\) 和 一个 \(5\) 相乘可得到一个 \(0\)。
代码实现
const int n = 1e5 + 5;
// s2[i] = a[1..i]中包含2的个数
// s5[i] = a[1..i]中包含5的个数
int s2[n], s5[n];
/**
* 统计 x 中包含的 2 和 5 的个数
*/
pair<int, int> count25(int x) {
int c2 = 0, c5 = 0;
while (!(x & 1))c2++, x /= 2;
while (x % 5 == 0)c5++, x /= 5;
return {c2, c5};
}
int main() {
int n, k, x;
scanf("%d%d", &n, &k);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &x);
auto [c2, c5] = count25(x);
s2[i] = c2 + s2[i - 1], s5[i] = c5 + s5[i - 1];
}
int l, r;
// 检查 l 和 r 是否不符合要求
auto check = [&] {
return s2[r] - s2[l - 1] > s2[n] - k || s5[r] - s5[l - 1] > s5[n] - k;
};
long long res = 0;
// 枚举每类以 l 为左边界的区间
for (l = 1; l <= n; l++) {
// 找到以 l 为左边界且满足题目条件的最大区间
int i = l, j = n;
while (i < j) {
r = (i + j + 1) >> 1;
if (check())j = r - 1;
else i = r;
}
r = i;
// 若[l,r] 满足条件，则 [l,r-1] 也满足条件，类推
if (!check())res += r - l + 1;
}
printf("%lld", res);
return 0;
}
时间复杂度：\(O(nlog(n))\)。
空间复杂度：\(O(n)\)。
END
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题目来源：美团2024年春招第一场笔试【技术】
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