P4841 [集训队作业2013] 城市规划 题解

首先有个很显然的 dp 做法。记 \(f_i\) 表示 \(i\) 个点的答案，考虑容斥，有：

\[f_i=2^{\frac{i(i-1)}2}-\sum_{j=1}^i {i-1\choose j-1}\cdot 2^{\frac{(i-j)(i-j-1)}2}\cdot f_j \]

展开组合数得：

\[f_i=2^{\frac{i(i-1)}2}-\sum_{j=1}^i \frac{(i-1)!}{(j-1)!(i-j)!}\cdot 2^{\frac{(i-j)(i-j-1)}2}\cdot f_j\\ \frac{f_i}{(i-1)!}=\frac{2^{\frac{i(i-1)}2}}{(i-1)!}-\sum_{j=1}^i \frac{1}{(i-j)!}\cdot 2^{\frac{(i-j)(i-j-1)}2}\cdot \frac{f_j}{(j-1)!} \]

右边的求和部分是一个卷积的形式。考虑构造其生成函数，记：

\[F(x)=\sum_{i=1}^n \frac{f_i}{(i-1)!}x^i \]

\[G(x)=\sum_{i=1}^{n-1}-\frac{2^{\frac{i(i-1)}2}}{i!}x^i \]

\[H(x)=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{2^{\frac{i(i-1)}2}}{(i-1)!}x^i \]

那么转移式变为：

\[F=H+F*G \]

解得：

\[F=H*(\epsilon-G)^{-1}\pmod {x^{n+1}} \]

然后贺个多项式求逆板子就做完了。