CF1264D2 Beautiful Bracket Sequence (hard version) 题解

括号深度的本质，其实就是删除若干个字符以后使得左边一半全是 (，右边一半全是 )，最终 ( 的个数的最大值。

那么就一定存在一个位置使得在这个位置以及之前的字符中 ( 的个数等于这个字符后 ) 的个数。

考虑枚举这个位置，记它左边的 ( 的个数为 \(a\)、? 的个数为 \(x\)，右边的 ) 的个数为 \(b\)、? 的个数为 \(y\)，那么易得这个位置对答案的贡献为：

\[\sum_{i=0}^x(i+a){x\choose i}{y\choose i+a-b} \]

然后就可以通过这题的弱化版了。考虑把括号拆开，两个分别算贡献。对于第一部分：

\[\begin{aligned} &\sum_{i=0}^xi{x\choose i}{y\choose i+a-b}\\ =&\sum_{i=0}^xx{x-1\choose i-1}{y\choose i+a-b}\\ =&x\sum_{i=0}^x{x-1\choose i-1}{y\choose y-a+b-i}\\ =&x{x+y-1\choose y-a+b-1} \end{aligned} \]

对于第二部分：

\[\begin{aligned} &\sum_{i=0}^xa{x\choose i}{y\choose i+a-b}\\ =&a\sum_{i=0}^x{x\choose i}{y\choose y-a+b-i}\\ =&a{x+y\choose y-a+b} \end{aligned} \]

最后两个求一下和就做完了，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n)\)。