高等数学A2 2020/6/11 第三十一次课

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高斯公式

定义

设空间比区域 \(\Omega\) 由分片光滑的闭曲面 \(\sigma\) 围成，函数 \(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\) 在 \(\Omega\) 上具有一阶连续偏导数，则有公式：

\(\iiint\limits_{\sigma}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial3 R}{\partial z})dv=\iint\limits_{\sigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\)

或者 \(\iiint\limits_{\sigma}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial3 R}{\partial z})dv=\iint\limits{\sigma}(Pcos\alpha +Qcos\beta +Rcos\gamma )dS\)

这里 $\sum $ 是 \(\Omega\) 的整个边界曲面的外侧，\(cos\alpha ,cos\beta ,cos\gamma\) 是 \(\sum\) 上点 \((x,y,z)\) 处的法向量的方向余弦