高等数学A2 2020/3/19 第八次课

返回主索引

平面及其方程

平面方程的形式

一般式方程

\(\prod: Ax+By+Cz+D=0\)

平面上的一个法向量 \(\vec n=(A,B,C)\)

满足以下性质：

\(A=0 \Longrightarrow\) 平面平行于 \(x\) 轴

\(B=0 \Longrightarrow\) 平面平行于 \(y\) 轴

\(C=0 \Longrightarrow\) 平面平行于 \(z\) 轴

\(D=0 \Longrightarrow\) 平面经过原点 \((0,0,0)\)

（若多个条件同时满足则组合对应结论，例如 \(A=B=0\) 时，平面平行于 \(xOy\) 面）

点法式方程

设：\(\vec n=(A,B,C)\) 为某平面的法向量 ， \(M(x_0,y_0,z_0)\) 为平面上的定点

\(\prod: A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)

即： \(Ax+By+Cz-(Ax_0+By_0+cZ_0)=0\)

平面内任意两个向量叉乘结果为该平面的一个法向量：\(\vec{AB}\times\vec{AC}=\vec n\)

截距式方程

\(\prod: \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)

经过点 \((a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)\)

两个平面的位置关系

\(\prod_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\;\;\;\;\vec{n_1}=(A_1,B_1,C_1)\)

\(\prod_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\;\;\;\;\vec{n_2}=(A_2,B_2,C_2)\)

\((1)\;\prod_1\perp\prod_2\iff\vec{n_1}·\vec{n_2}=0\iff A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0\)

\((2)\;\prod_1\parallel\prod_2\iff\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\ne\frac{D_1}{D_2}\;\;\)（\(\frac{A_1}{A_2},\frac{B_1}{B_2},\frac{C_1}{C_2}\) 不同时为 \(0\) ）

\((2)\;\) 重合 \(\iff\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}\;\;\)（\(\frac{A_1}{A_2},\frac{B_1}{B_2},\frac{C_1}{C_2}\) 不同时为 \(0\) ）

\((3)\;\) 相交 \(\iff\vec{n_1}\nparallel\vec{n_2}\)

平面间的夹角

两平面法向量之间的夹角成为两平面的夹角（一般取锐角）

\(cos\theta = \frac{|\vec{n_1}·\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|·|\vec{n_2}|}=\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}·\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\)

点到平面的距离

\(\prod: Ax+By+Cz+D=0\;\;M_0(x_0,y_0,z_0)\) 为其上一点

\(M_1(x_1,y_1,z_1)\) 到该平面的距离 \(d=|{P_{roj}}^{\vec{M_0M_1}}_{\;\;\;\vec n}|=|\frac{\vec n·\vec{M_0M_1}}{|\vec n|}|=|\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}|\)