高等数学A2 2020/3/3 第三次课

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可降阶的高阶非分方程

二阶微分方程的一般形式：

\(F(x,y,y',y'')=0\;\) 或 \(\;y''=f(x,y,y')\;\)

通解：\(y= \beta (x,C_1,C_2)\)

\(n\) 阶微分方程的一般形式：

\(F(x,y,y',...,y^{(n)}) = 0\;\) 或 \(\;y^{(n)} = f(x,y,y',y'',...,y^{(n-1)})\)

通解：\(y= \beta (x,C1,C2...C_{n})\)

这里给出两种特殊形式的微分方程的解法：

\((1)\;F(x,y',y'')=0\;\) 不显含 \(y\) 型

应当使用降阶法，令 \(y'=p\) 则 \(y''=\frac{dp}{dx}\)

原方程化为：\(F(x,p,\frac{dp}{dx})=0\;\) 解得：\(p=y'=\frac{dy}{dx}=\beta(x,C_1)\)

再解一阶线性微分方程得： \(y= \int \beta (x,C_1)dx+C_2\)

\((2)\;F(y,y',y'')=0\;\) 不显含 \(x\) 型

应当使用降阶法，令 \(y'=p\) 则 \(y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}·\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}\)

原方程化为：\(F(y,p,p\frac{dp}{dy})=0\) 用一次线性微分方程解法求解出 \(\;p=y'=\frac{dy}{dx}=\beta(y,C_1)\;\)

先解一阶线性微分方程即可

高阶线性微分方程

主要讲了四个定理

定理 1（齐次线性方程的叠加原理）：

设 \(y=y_1(x)\) 和 \(y=y_2(x)\) 是齐次线性方程 \(F(x,y,y',y'')=0\) 的两个解

则 \(y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\) 也是该齐次线性方程的解（但不一定是通解）

可以这样概述：齐次线性方程的线性组成仍是齐次线性方程的解

定理 2：（通解线性无关的要求）

设 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是齐次方程 \(F(x,y,y'')=0\) 的两个线性无关解

则 \(y=C_1y(x)+C_2y_2(x)\) 才是齐次方程的通解，可以推广到 \(n\) 阶齐次线性方程

线性相关的概念如下：

\(n\) 个函数 \(y_1(x)、y_2(x)...y_n(x)\) 在区间 \(I\) 上线性相关当且仅当存在

\(k_1y_1(x)+k_2y_2(x)+...+k_ny_n(x)=0\;\) 其中：\(\;k_1、k_2...k_n\) 不全为 \(0\)

特殊地，函数 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 线性相关 \(\iff\;\frac{y_2(x)}{y_1(x)}≡k\) （\(k\) 为常数）

定理 3：（非齐次线性方程解的结构）

\(\begin{cases}y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)\;\;(1)\\ \\y''+P(x)y'+Q(x)y=0\;\;\;\;\;\;\;(2)\end{cases}\)

设 \(y^*\) 是非齐次线性方程 \((1)\) 的一个解，\(Y=C_1y_1 + C_2y_2\) 是对应齐次方程 \((2)\) 的通解

则 \(y=Y+y^*\) 是非齐次方程 \((1)\) 的通解

定理 4：（非齐次线性方程的叠加原理）

\(y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x)\xrightarrow{特解}y_1^*\)

\(y''+P(x)y'+Q(x)y=f_2(x)\xrightarrow{特解}y_2^*\)

则：\(y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x)\xrightarrow{特解}y^*=y_1^*+y_2^*\)