BZOJ2705: [SDOI2012]Longge的问题

好吧,确实是个水题,但是网上的题解似乎都不怎么靠谱。

首先我们可以用反演

\(\begin{align*}\because \sum_{d|n} \phi(d) &= n \\\therefore Answer(N)&=\sum_{i=1}^N \gcd(i,N) \\&=\sum_{i=1}^N \sum_{d|i}\phi(d)\\&=\sum_{d|N} \phi(d) \times \frac{N}{d}\end{align*} \)

但这样还不够,复杂度还是\(O(N)\)的。

我们可以看到,这其实是函数\(f(x)=\phi(x)\)与函数\(g(x)=x\)的狄利克雷卷积,又因为\(f\)与\(g\)都是积性函数,所以\(Answer\)函数也是积性函数。

所以我们将\(N\)分解为\(p_1^{k_1}\times p_1^{k_1}\times\ldots\times p_m^{k_m}\)

对于每一个\(p^k\)直接根据公式计算就行了,这样总的复杂度就只有因式分解的\(O(\sqrt{N})\)了(或许可以用其他神奇的算法再降下来呢~)。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 #include <cmath>
 6 using namespace std;
 7 typedef long long LL;
 8 LL N,p,k;//N=p^k
 9 inline LL calc()
10 {
11     LL ans=0;
12     for(LL f=1,i=0,num=1;i<=k;i++,num*=p)
13         ans+=f*N/num,f*=i?p:p-1;
14     return ans;
15 }
16 int main(int argc, char *argv[])
17 {
18     LL Ans=1,n;cin>>n;
19     for(LL i=2;i*i<=n;i++)
20         if(n%i==0)
21         {
22             for(k=0,N=1;n%i==0;k++)n/=i,N*=i;
23             p=i;Ans*=calc();
24         }
25     if(n>1)N=p=n,k=1,Ans*=calc();
26     cout<<Ans<<endl;
27     return 0;
28 }

 

 

posted @ 2014-03-01 21:55  zhuohan123  阅读(254)  评论(0编辑  收藏  举报