传统树、字典树、hash 树、Merkle Patricia Tree

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文章目录

关于数据结构中树结构的相关分享
一、传统的数据结构中的树结构
1.1 二叉查找树
1.2 平衡二叉树
1.3 平衡二叉树之红黑树
1.4 B 树
1.5 B+树
1.6 B* 树
二、字典树 ( Trie树 )
三、决策树(利用信息论的熵依靠决策树做决策选择)
四、梅克尔帕特里夏树( Merkle Patricia Tree, MPT)
五、计算机科学中的树结构
关于数据结构中树结构的相关分享
本文参考： 树结构参考文献

一、传统的数据结构中的树结构

树结构是一种非线性存储结构，存储的是具有“一对多”关系的数据元素的集合。

其中，讨论较多的是二叉树。二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。

1.1 二叉查找树

二叉查找树定义：又称二叉排序树或二叉搜索树。二叉排序树或者是一棵空树，具有下列性质：

1. 左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；右子树均大于或等于它的根结点的值；
2. 左、右子树也分别为二叉排序树；

特点：

• 二叉查找树的性质：对二叉查找树进行中序遍历，即可得到有序的数列。
• 二叉查找树的高度决定了二叉查找树的查找效率。

1.2 平衡二叉树

为了让二叉搜索树的期望高度为 log2n，即使得各操作的时间复杂度为 O(log2n), 于是有了平衡二叉树(即 AVL树)。
定义：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。
最小二叉平衡树的节点的公式如下： F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1

1.3 平衡二叉树之红黑树

定义：红黑树是一种自平衡二叉查找树，其典型的用途是实现关联数组(比如 C++ 中的 STL 中的map,和 set 等关联式容器都是基于红黑树的)。

它可以在O(logn)时间内做查找，插入和删除，这里的n是树中元素的数目。这使得它可以适用于实时应用（real time application）。

红黑树还是2-3-4树的一种等同，它们的思想是一样的，只不过红黑树是2-3-4树用二叉树的形式表示的。

2-3-4 树把数据存储在叫做元素的单独单元中。它们组合成节点。每个节点都是下列之一：

2-节点，就是说，它包含 1 个元素和 2 个儿子；
3-节点，就是说，它包含 2 个元素和 3 个儿子；
4-节点，就是说，它包含 3 个元素和 4 个儿子。
如下图(所示)：

红黑树的性质：
红黑树是每个节点都带有颜色属性的二叉查找树，颜色为红色或黑色。除了二叉查找树特有性质之外，红黑树还增加了如下要求:
性质1. 节点是红色或黑色，根是黑色，所有叶子都是黑色

性质2. 每个红色节点必须有两个黑色的子节点。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点，即红黑相间)，从任一节点到其每个叶子的所有简单路径都包含相同数目的黑色节点(简称黑高)。

红黑树的图例，如下：

性质分析：
有了上面的几个性质作为限制，即可避免二叉查找树退化成单链表的情况。但是，仅仅避免这种情况还不够，这里还要考虑某个节点到其每个叶子节点路径长度的问题。如果某些路径长度过长，那么，在对这些路径上的及诶单进行增删查操作时，效率也会大大降低。这个时候性质4和性质5用途就凸显了，有了这两个性质作为约束，即可保证任意节点到其每个叶子节点路径最长不会超过最短路径的2倍。
原因如下：
当某条路径最短时，这条路径必然都是由黑色节点构成。当某条路径长度最长时，这条路径必然是由红色和黑色节点相间构成（性质限定了不能出现两个连续的红色节点）。而性质又限定了从任一节点到其每个叶子节点的所有路径必须包含相同数量的黑色节点。此时，在路径最长的情况下，路径上红色节点数量 = 黑色节点数量。该路径长度为两倍黑色节点数量，也就是最短路径长度的2倍。(如下图)

红黑树的自平衡调整操作：
因为每一个红黑树也是一个特化的二叉查找树，因此红黑树上的只读操作与普通二叉查找树上的只读操作相同。
此外，在红黑树上进行插入操作和删除操作会导致不再符合红黑树的性质。恢复红黑树的性质需要少量(O(logn))的颜色变更(实际是非常快速的)和不超过三次树旋转结构变更(对于插入操作是两次)。
虽然插入和删除很复杂，但操作时间仍可以保持为 O(logn) 次。
具体的插入、构建、删除、和调整操作(代码相关的)，可参见维基百科。
红黑树调整

1.4 B 树

B树也是一种用于查找的平衡树，但是它不是二叉树，它是多路搜索树。
定义： B树（B-tree）是一种树状数据结构，能够用来存储排序后的数据。这种数据结构能够让查找数据、循序存取、插入数据及删除的动作，都在对数时间内完成。B树即一般化的二叉查找树，可以拥有多于2个子节点。与自平衡二叉查找树不同，B树为系统最优化大块数据的读和写操作。B-tree算法减少定位记录时所经历的中间过程，从而加快存取速度。这种数据结构常被应用在数据库和文件系统的实现上。

B树作为一种多路搜索树（并不是二叉的）的性质：
定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；
根结点的儿子数为[2, M], 非根非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；
每个结点存放至少 M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）
非叶子结点的关键字个数 = 指向儿子的指针个数-1；
非叶子结点的关键字有序：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；
非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，
P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；
所有叶子结点位于同一层；

M=3 的 B 树示例图：

 

 

 

比起正常的平衡二叉树，B树每个节点显然能存储的数据更多，在查找数据方面也显得比较高效。
B树创建的示意图：

1.5 B+树

B+树是B树的变体，也是一种多路搜索树：

其定义基本与B-树相同，除了：
非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；
非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树（B-树是开区间）；
为所有叶子结点增加一个链指针；
所有关键字都在叶子结点出现；
下图为 M=3 的 B+ 树的示意图

 

 

 

B+树的搜索与B树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；
B+ 树的性质：
1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；
2.不可能在非叶子结点命中；
3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；
4.更适合文件索引系统。

B + 树的创建示意图：

 

B 树和 B+ 树的异同：

结构上
B树中关键字集合分布在整棵树中，叶节点中不包含任何关键字信息，而B+树关键字集合分布在叶子结点中，非叶节点只是叶子结点中关键字的索引；
B树中任何一个关键字只出现在一个结点中，而B+树中的关键字必须出现在叶节点中，也可能在非叶结点中重复出现；
性能上（也即为什么说B+树比B树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引？）
不同于B树只适合随机检索，B+树同时支持随机检索和顺序检索；
B+树的磁盘读写代价更低。B+树的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针，其内部结点比B树小，盘块能容纳的结点中关键字数量更多，可一次性将索引读入内存中可以查找的关键字也就越多，相对的，IO读写次数也就降低了。而IO读写次数是影响索引检索效率的最大因素。也就是说同样数据情况下，B+ 树会 B 树更加“矮胖”，因此查询效率更快。
B+树的查询效率更加稳定。B树搜索有可能会在非叶子结点结束，越靠近根节点的记录查找时间越短，只要找到关键字即可确定记录的存在，其性能等价于在关键字全集内做一次二分查找。而在B+树中，顺序检索比较明显，随机检索时，任何关键字的查找都必须走一条从根节点到叶节点的路，所有关键字的查找路径长度相同，导致每一个关键字的查询效率相当。
（数据库索引采用B+树的主要原因是，）B-树在提高了磁盘IO性能的同时并没有解决元素遍历的效率低下的问题。B+树的叶子节点使用指针顺序连接在一起，只要遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历。而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁的，而B树不支持这样的操作（或者说效率太低）。
1.6 B* 树
B* 树是 B+ 树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3。

图示如下：

B* 树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）；

B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；

B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；

所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高。

二、字典树 ( Trie树 )
Tire树称为字典树，又称单词查找树，Trie树，是一种树形结构，是一种哈希树的变种。典型应用是用于统计，排序和保存大量的字符串（但不仅限于字符串），所以经常被搜索引擎系统用于文本词频统计。它的优点是：利用字符串的公共前缀来减少查询时间，最大限度地减少无谓的字符串比较，查询效率比哈希树高。

Tire树的三个基本性质：

根节点不包含字符，除根节点外每一个节点都只包含一个字符；
从根节点到某一节点，路径上经过的字符连接起来，为该节点对应的字符串；
每个节点的所有子节点包含的字符都不相同。
Tire树的应用：

串的快速检索
给出N个单词组成的熟词表，以及一篇全用小写英文书写的文章，请你按最早出现的顺序写出所有不在熟词表中的生词。在这道题中，我们可以用数组枚举，用哈希，用字典树，先把熟词建一棵树，然后读入文章进行比较，这种方法效率是比较高的。

“串”排序
给定N个互不相同的仅由一个单词构成的英文名，让你将他们按字典序从小到大输出。用字典树进行排序，采用数组的方式创建字典树，这棵树的每个结点的所有儿子很显然地按照其字母大小排序。对这棵树进行先序遍历即可。

最长公共前缀
对所有串建立字典树，对于两个串的最长公共前缀的长度即他们所在的结点的公共祖先个数，于是，问题就转化为求公共祖先的问题。

 

 

参考文献：
1、http://blog.jobbole.com/111680/
2、https://blog.csdn.net/mine_song/article/details/63251546
3、https://www.cnblogs.com/pinard/p/6050306.html
4、https://blog.csdn.net/qq_33935254/article/details/55505472