GMOJ 2020.10.29【NOIP提高A组】模拟
GMOJ 2020.10.29【NOIP提高A组】模拟
一套前三题较为简单但是并没有做出来的膜你赛
T1.6806achen
首先, \(A\), \(B\) 是可以对调的, 所以默认 \(A < B\)
可以发现, 如果 \(A\) 左边有大于2个点, 那么走完 \(A\) 左边方案唯一, 且最后停在 \(A + 1\), 对于\(B\) 同理.
所以方案数就为 \(A + 1\) 至 \(B - 1\) 的方案数.
设 \(f[i]\) 为从1到 \(i\) 的方案数, 显然 \(f[i] = f[i - 3] + f[i - 1]\).
还有一点特殊情况也十分好判.
T2.6808tree
首先假定根为\(1\), 答案可以分为两部分讨论 :
1.以\(u\)为根的子树中包含所有颜色, 那么 \(u\) 对答案的贡献为 \(u\)子树以外到 \(u\) 的最长链
2.以\(u\)为根的子树中没有完全包含任何颜色, 那么 \(u\) 对答案的贡献为 \(u\) 到 叶子节点的最长链
每个点的贡献是十分好算的, 问题在于如何判断这个点是否能贡献.
对于 1, 可以按 \(dfs\)序遍历所有点, 每个点到根的路径加1, 它与前一个颜色相同的点的 \(lca\) 到根的路径减1. 其实就是一次树上差分, 最后有1贡献的充要条件是点的和为 \(m\).
对于2, 只分别需要求出每种颜色的点的 \(lca\), 显然 \(lca\) 到根路径上的点完全包含这种颜色, 在 \(lca\) 打标记, 最后上传标记即可.
只要倍增\(lca\) 的常数够优秀, 也是能过这道题的.
T3.6808east
先讨论 \(a_i\) 各不相同的情况，显然一个区间 \([l, r]\) 满足要求的充要条件为 \(max(a_i) - min(a_i) = r - l\), \((l \leq i \leq r)\)。
又可以发现 \(max - min \geq r - l\)， 移项得 \(max - min + l \geq r\)，所以对于每个右端点 \(r\)，需要维护 \(max - nin + l\) 的最小值以及取到最小值的左端点数。
考虑用两个单调栈分别维护 \(max\) 和 \(min\)。对于 \(max\)，维护一个单调递减的单调栈，每次弹栈的时候，需要修改一个区间的 \(max\)，发现这段区间的 \(max\) 相同，所以其实就是一个区间加操作，维护 \(min\) 同理，所以用一棵线段树维护即可。
再考虑有 \(a_i\) 相同的情况，可以发现上面式子变为 \(max - min + l + cnt \geq r\)，\(cnt\) 为区间内不是第一次出现的数的个数，记录 \(a_i\) 上一次出现的位置 \(las[a_i]\)，那么其实就是一个区间加1的操作，同样线段树上搞一搞就好。
T4.6809不难题
Description
给定 k 行 n 列的矩阵，每行为 \(1\) ~ \(n\) 的排列，互相独立且随机。
要求将一个区间 \([L, R]\) 的行拉出来合成一行，不能有连续的 \(R - L + 1\) 个数相同，
求所有区间的方案数之和
Solution
乍一看感觉挺难求的，再一看还是很难求.....
先在每一行末尾加 \(n + 1\)，那么区间 \([L, R]\) 满足条件的方案数就转化为 第一次连续出现 \(R - L + 1\) 次的数为 \(n + 1\) 的方案数 / \((R - L + 1)!\)。
转化之后便比较好设状态了，设 \(f[x]\) 表示区间 \([L, R]\) 中第一次连续出现 \(R - L + 1\) 次的数为 \(x\) 的方案数，考虑用 “总方案数” - “不合法方案数”，总方案数就是一堆组合数的乘积。
考虑如何求 \(f[x]\)，如果不需要 \(x\) 为第一次连续出现的话，\(f[x] =\) 将每行 \(x\) 之前的数乱排乘 \((R - L + 1)!\)，但需要删去 \(x\) 不是第一个连续出现的情况，设 \(y\) 表示第一次连续出现 \(R - L + 1\) 次的数为 y，且要求 \(x\) 能在 \(y\) 连续出现 \(R - L + 1\) 次后连续出现，也就是 \([L, R]\) 中 \(x\) 的位置都要在 \(y\) 之后，那么对于每个 \(y\)，就是 \(f[y] \times\) 一堆组合数的积，积表示 \(y\)连续到 \(x\)连续之间有多少种不同的排列方案。
固定区间左端点，枚举右端点店铺dp，时间复杂度 \(O(k^2n^2)\)，并过不了，但是注意到题目中每一行的排列独立且随机。也就是说，对于满足条件的 \((x, y)\)，在只有一行时数量为 \(\frac{n^2}2\)，以后每多一行，依然满足条件的概率为 \(\frac12\)，所以数量也相应的\(/2\)，所以对于一次左端点固定，右端点移动的过程中，\((x, y)\)的总数是\(O(n^2)\)的。
综上，在每次新加入一行时维护合法 \((x, y)\)，可以使用链表维护，时间复杂度 \(O(nk(n + k))\)。
最后答案为 \(\frac{f[n + 1]}{(R - L + 1)!}\)
