UOJ#424. 【集训队作业2018】count 多项式,FFT,矩阵

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题解

主席太神仙了！

首先我们把题意转化成：对所有挺好序列建 笛卡尔树，有多少笛卡尔树互不同构。

容易推出 dp 式子：$f[i][j]$ 表示 $j$ 个数，他们的 max 为 i 。

$$f[i][j] = \sum_{k=0}^{j-1} f[i-1][k] * f[i][j-k-1]\\f[i][0] = 1\\f[0][i] = 0(i>0)\\f[1][i] = 1$$

这里注意一下：设当前的max为 v，左侧区间的max为 maxL，右侧为 maxR，那么由于每次是取区间最大值的最靠左下标，所以 maxL<v，而 maxR<=v 。

先不考虑每 1...m 每一个数都要出现。

可以发现，如果 maxL<v-1 ，那么只要将左子树的所有节点都加上 v-1-MaxL ，那么 maxL<v-1 的任意一种情况都可以在 maxL=v-1 时的所有情况中找到同构的情况。

右侧也类似。

所以左侧只往 i-1转移，右侧只往 i 转移。这样本身显然是没有同构了。

现在考虑 1...m 每一个数都要出现。

显然如果 n<m 那么答案为 0 。

否则，显然 1...m 不用全部出现的情况下的所有笛卡尔树构成的集合（设为 S1） 包含了 1...m 全部出现的情况下的所有笛卡尔树构成的集合（设为 S2）。

接下来我们来说明一下 S1 的每一种笛卡尔树都与 S2 的一种笛卡尔树对应。

如果 S1 中的一棵笛卡尔树本来就包含了 1...m ，那么直接对应即可。

如果 S1 中的一棵笛卡尔树少包含了一些，那么由于 n>=m ，一定可以在不改变笛卡尔树的同时调节节点权值使得 1..m 都出现，于是也可以对应 S2 中的一种笛卡尔树。

由于 S1 中的任意两个笛卡尔树互不同构，所以 S1 与 S2 的元素一一对应，也就是说 |S1|=|S2| 。

于是我们要求的就是 $f[m][n]$ 。

设多项式 $f_i(x)$ 满足 $f_i(x)[j]=f[i][j]$ ，那么我们可以得到递推式：

$$f_i(x) = x f_{i-1}(x)f_i(x) + 1\\f_i(x) = \frac{1}{1-xf_{i-1}(x)}$$

这个式子很棘手。

我们把他表示成 $\frac{A_i(x)}{B_i(x)}$ 的形式，再推一推：

$$\frac{A_i(x)}{B_i(x)} = \frac 1 {1-x\frac{A_{i-1}(x)}{B_{i-1}(x)}}\\=\frac{B_{i-1}(x)}{B_{i-1}(x) - xA_{i-1}(x) }$$

于是我们可以得到线性递推式：

$$A_i(x) = B_{i-1}(x)$$

$$B_i(x) = B_{i-1}(x) - xA_{i-1}(x)$$

于是我们可以得到：

$$\begin{bmatrix}0 & 1\\-x & 1 \end{bmatrix}\begin{pmatrix}A_{i-1}(x)\\B_{i-1}(x)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A_i(x)\\B_i(x)\end{pmatrix}$$

其中 $A_0(x) = B_0(x) = 1$ 。

直接暴力把多项式当做矩阵中的元素，复杂度 $O(n\log ^2 n)$ 。

直接把单位根代入，直接得到 $A_m(x)$ 和 $B_m(x)$ 的点值，最后 DFT 回来。时间复杂度 $O(n\log n)$ 。

还要写个多项式求逆。

所以总时间复杂度 $O(n\log n )$ 。

好像有个 $O(n)$ 的神仙做法。不会。告辞。

代码

#pragma GCC optimize("Ofast","inline")
#include <bits/stdc++.h>
#define clr(x) memset(x,0,sizeof (x))
#define For(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define Fod(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define _SEED_ ('C'+'L'+'Y'+'A'+'K'+'I'+'O'+'I')
#define outval(x) printf(#x" = %d\n",x)
#define outvec(x) printf("vec "#x" = ");for (auto _v : x)printf("%d ",_v);puts("")
#define outtag(x) puts("----------"#x"----------")
#define outarr(a,L,R) printf(#a"[%d...%d] = ",L,R);\
						For(_v2,L,R)printf("%d ",a[_v2]);puts("");
using namespace std;
typedef long long LL;
LL read(){
	LL x=0,f=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch))
		f|=ch=='-',ch=getchar();
	while (isdigit(ch))
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
const int N=1<<20,mod=998244353;
void Add(int &x,int y){
	if ((x+=y)>=mod)
		x-=mod;
}
void Del(int &x,int y){
	if ((x-=y)<0)
		x+=mod;
}
int Pow(int x,int y){
	int ans=1;
	for (;y;y>>=1,x=(LL)x*x%mod)
		if (y&1)
			ans=(LL)ans*x%mod;
	return ans;
}
namespace poly{
	int w[N],R[N];
	int a[N],b[N];
	void prework(int n,int d){
		For(i,0,n-1)
			R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(d-1));
		w[0]=1,w[1]=Pow(3,(mod-1)/n);
		For(i,2,n-1)
			w[i]=(LL)w[i-1]*w[1]%mod;
	}
	void FFT(int a[],int n){
		For(i,0,n-1)
			if (i<R[i])
				swap(a[i],a[R[i]]);
		for (int t=n>>1,d=1;d<n;d<<=1,t>>=1)
			for (int i=0;i<n;i+=d<<1)
				for (int j=0;j<d;j++){
					int tmp=(LL)w[t*j]*a[i+j+d]%mod;
					a[i+j+d]=(a[i+j]-tmp+mod)%mod;
					Add(a[i+j],tmp);
				}
	}
	vector <int> Mul(vector <int> A,vector <int> B){
		static vector <int> ans;
		ans.clear();
		int n,d;
		for (n=1,d=0;n<A.size()+B.size();n<<=1,d++);
		prework(n,d);
		For(i,0,n-1)
			a[i]=b[i]=0;
		For(i,0,(int)A.size()-1)
			a[i]=A[i];
		For(i,0,(int)B.size()-1)
			b[i]=B[i];
		FFT(a,n),FFT(b,n);
		For(i,0,n-1)
			a[i]=(LL)a[i]*b[i]%mod;
		w[1]=Pow(w[1],mod-2);
		For(i,2,n-1)
			w[i]=(LL)w[i-1]*w[1]%mod;
		FFT(a,n);
		int inv=Pow(n,mod-2);
		For(i,0,n-1)
			ans.pb((LL)a[i]*inv%mod);
		while (!ans.empty()&&!ans.back())
			ans.pop_back();
		return ans;
	}
	vector <int> Get_Inv(vector <int> a,int n){
		static vector <int> A,B,tmp;
		A.clear(),B.clear();
		B.pb(Pow(a[0],mod-2));
		for (int d=1;d<=n*2;d<<=1){
			while (A.size()<=d)
				if (a.size()>d)
					A.pb(a[A.size()]);
				else
					A.pb(0);
			tmp=Mul(A,Mul(B,B));
			tmp.resize(d+1,0);
			B.resize(d+1,0);
			For(i,0,d)
				B[i]=(2LL*B[i]-tmp[i]+mod)%mod;
		}
		B.resize(n+1,0);
		return B;
	}
}
using poly::FFT;
using poly::Mul;
using poly::Get_Inv;
struct Mat{
	int v[2][2];
	Mat(){}
	Mat(int x){
		clr(v);
		For(i,0,1)
			v[i][i]=x;
	}
	Mat(int v00,int v01,int v10,int v11){
		v[0][0]=v00,v[0][1]=v01;
		v[1][0]=v10,v[1][1]=v11;
	}
	friend Mat operator * (Mat A,Mat B){
		Mat ans(0);
		For(i,0,1)
			For(j,0,1)
				For(k,0,1)
					ans.v[i][j]=((LL)A.v[i][k]*B.v[k][j]+ans.v[i][j])%mod;
		return ans;
	}
};
Mat Pow(Mat x,int y){
	Mat ans(1);
	for (;y;y>>=1,x=x*x)
		if (y&1)
			ans=ans*x;
	return ans;
}
int n,m;
int k,d;
int a[N],b[N];
vector <int> A,B;
int solve(int n,int m){
	if (n<m)
		return 0;
	for (k=1,d=0;k<=n;k<<=1,d++);
	poly::prework(k,d);
	For(i,0,k-1){
		Mat res=Pow(Mat(0,1,(mod-poly::w[i])%mod,1),m)*Mat(1,0,1,0);
		a[i]=res.v[0][0],b[i]=res.v[1][0];
	}
	poly::w[1]=Pow(poly::w[1],mod-2);
	For(i,2,k-1)
		poly::w[i]=(LL)poly::w[i-1]*poly::w[1]%mod;
	FFT(a,k),FFT(b,k);
	A.clear(),B.clear();
	For(i,0,n)
		A.pb(a[i]),B.pb(b[i]);
	A=Mul(A,Get_Inv(B,n));
	A.resize(n+1,0);
	return A[n];
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	cout<<solve(n,m)<<endl;
	return 0;
}