[BZOJ1150][CTSC2007]数据备份Backup

bzoj
luogu

Description

你在一家 IT 公司为大型写字楼或办公楼（offices）的计算机数据做备份。然而数据备份的工作是枯燥乏味的，因此你想设计一个系统让不同的办公楼彼此之间互相备份，而你则坐在家中尽享计算机游戏的乐趣。已知办公楼都位于同一条街上。你决定给这些办公楼配对（两个一组）。每一对办公楼可以通过在这两个建筑物之间铺设网络电缆使得它们可以互相备份。然而，网络电缆的费用很高。当地电信公司仅能为你提供K条网络电缆，这意味着你仅能为K对办公楼（或总计2K个办公楼）安排备份。任一个办公楼都属于唯一的配对组（换句话说，这2K个办公楼一定是相异的）。此外，电信公司需按网络电缆的长度（公里数）收费。因而，你需要选择这K对办公楼使得电缆的总长度尽可能短。换句话说，你需要选择这 K 对办公楼，使得每一对办公楼之间的距离之和（总距离）尽可能小。下面给出一个示例，假定你有 5个客户，其办公楼都在一条街上，如下图所示。这5个办公楼分别位于距离大街起点 1km, 3km, 4km, 6km 和 12km 处。电信公司仅为你提供 K=2 条电缆。

上例中最好的配对方案是将第 1 个和第 2 个办公楼相连，第 3 个和第 4 个办公楼相连。这样可按要求使用K=2 条电缆。第 1 条电缆的长度是 3km-1km=2km ，第 2 条电缆的长度是 6km-4km=2km。这种配对方案需要总长4km 的网络电缆，满足距离之和最小的要求。

sol

只有相邻的建筑才会匹配，所以是一个二分图，且每个点的度数不超过\(2\)。
直接上费用流会\(T\)。
考虑一下费用流的运行过程。每一次的增广都是从左边的一个点出发，经过若干条（可以是不经过）反向边后到达一个右边的点。由于每个点度数不超过\(2\)，所以如果确定了从哪个点开始增广，那么增广的路径一定会是唯一的。
所以用堆维护一下从每个点出发的增广路径长度就行了。
现在考虑一条路径增广后对其他路径的影响。显然只会影响到自己的前驱和后继，使得原本前驱后继的增广方式不复存在，同时也产生了一种新的增广方式——把当前这条增广路全部取反。所以相当于新建一个点，用链表维护一下即可。
复杂度\(O(n\log n)\)。

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
int gi(){
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
#define pi pair<int,int>
#define mk make_pair
const int N = 2e5+5;
int n,k,tot,dis[N],lst[N],nxt[N],del[N],val[N],ans;
priority_queue<pi,vector<pi>,greater<pi> >Q;
int main(){
	freopen("backup.in","r",stdin);
	freopen("backup.out","w",stdout);
	n=gi();k=gi();tot=n-1;
	for (int i=1;i<=n;++i) dis[i]=gi(),lst[i]=i-1,nxt[i]=i+1;
	nxt[n-1]=nxt[n]=0;
	for (int i=1;i<n;++i) Q.push(mk(val[i]=dis[i+1]-dis[i],i));
	while (k--){
		while (del[Q.top().second]) Q.pop();int x=Q.top().second;Q.pop();
		ans+=val[x];del[x]=del[lst[x]]=del[nxt[x]]=1;
		if (!lst[x]) lst[nxt[nxt[x]]]=0;
		else if (!nxt[x]) nxt[lst[lst[x]]]=0;
		else{
			val[++tot]=val[lst[x]]+val[nxt[x]]-val[x];
			lst[tot]=lst[lst[x]],nxt[tot]=nxt[nxt[x]];
			if (lst[tot]) nxt[lst[tot]]=tot;
			if (nxt[tot]) lst[nxt[tot]]=tot;
			Q.push(mk(val[tot],tot));
		}
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}