[BZOJ2005][NOI2010]能量采集

BZOJ
Luogu
Description
栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x,y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k+1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1,2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失。
Input
仅包含一行，为两个整数n和m。
Output
仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。
Sample Input
【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4
Sample Output
【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

sol

这题转化一下就是要求

\[2*\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\gcd(i,j)-n*m \]

（手玩一下显然是这样的呀）
那么前面哪一坨就可以莫比乌斯反演求。
（我发现我博客里还没有写过这个的推导所以这里详细地写一发）
提出\(\gcd\)

\[ans=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[\gcd(i,j)==d] \]

\[=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[\gcd(i,j)==1] \]

\[=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)\lfloor\frac {n/d}{i} \rfloor\lfloor\frac {m/d}{i} \rfloor \]

前后两次数论分块可以做到\(O(n)\)
最优复杂度是\(O(n)\)预处理后单组数据\(O(\sqrt n)\)，可参见BZOJ4407于神之怒加强版

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 100005;
int gi()
{
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
int n,m,mu[N],pri[N],tot;
bool zhi[N];//zhi[i]为true的表示不是质数
ll F[N],f[N],ans;
void Mobius()
{
	zhi[1]=true;mu[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (!zhi[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for (int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;j++)
		{
			zhi[i*pri[j]]=true;
			if (i%pri[j]) mu[i*pri[j]]=-mu[i];
			else {mu[i*pri[j]]=0;break;}
		}
	}
	for (int i=1;i<=n;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
ll calc(int a,int b)
{
	int i=1;ll res=0;
	while (i<=a)
	{
		int j=min(a/(a/i),b/(b/i));
		res+=1ll*(mu[j]-mu[i-1])*(a/i)*(b/i);
		i=j+1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	n=gi();m=gi();
	if (n>m) swap(n,m);
	Mobius();
	int i=1;
	while (i<=n)
	{
		int j=min(n/(n/i),m/(m/i));
		ans+=1ll*(j+i)*(j-i+1)/2*calc(n/i,m/i);
		i=j+1;
	}
	printf("%lld\n",ans*2-1ll*n*m);
	return 0;
}