容斥与反演

如题，这是数学推式子中很重要的思想

容斥

常规容斥

常用容斥统计方法为：设\(f(S),g(S)\)两组相反的概念（一定选--可以选，全部合法--钦定不合法等），有：

\[g(S)=\sum_{T\subseteq S}f(T)\iff f(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}g(T) \]

min-max容斥

\[\max(S)=\sum_{T\subseteq S\&T\not=\emptyset}(-1)^{|T|-1}\min(T) \]

\[\min(S)=\sum_{T\subseteq S\&T\not=\emptyset}(-1)^{|T|-1}\max(T) \]

\[kthmax(S)=\sum_{T\subseteq S\&T\not=\emptyset}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\min(T) \]

\[kthmin(S)=\sum_{T\subseteq S\&T\not=\emptyset}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\max(T) \]

注意不包括空集

该式在期望意义下也适用，通常用于期望相关问题

这里的\(\max,\min\)可以替换成任意有相同性质的运算（如\(\max(S)\)为\(S\)中最后一个元素出现的时间，对应的，\(\min(S)\)为\(S\)中第一个元素出现的时间）

反演

第一反演公式

\[\displaystyle g_i=\sum_{j=0}^na_{j,i}f_j\iff f_i=\sum_{j=0}^nb_{j,i}g_j \]

转换成矩阵形式就是，对于向量\(f,g\)，有矩阵\(A,B,AB=I,Af=Bg\)

这是所有反演公式的通式

莫比乌斯反演

\[g(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\iff f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)f(\frac n d) \]

二项式反演

\[g(n)=\sum_{i=0}^n\binom n if(i)\iff f(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\binom n ig(i) \]

\[g(n)=\sum_{i=n}^m\binom i nf(i)\iff f(n)=\sum_{i=n}^m(-1)^{i-n}\binom i ng(i) \]

单位根反演

\[[n\mid k]=\frac 1 n\sum_{i=0}^{n-1}\omega^{ki}_n \]

其实FFT用的就是这玩意

用于获取多项式的特定系数

拉格朗日反演