积性函数

积性函数

定义&性质

对于所有互质的\(a,b\)，满足\(f(ab)=f(a)f(b)\)，则\(f\)为积性函数

对于所有的\(a,b\)，满足\(f(ab)=f(a)f(b)\)，则\(f\)为完全积性函数

对于积性函数，有\(f(1)=1\)

常见积性函数

1、\(1(n)=1\) 恒等函数

2、\(Id_k(n) = n^k\) 幂函数

3、\(\varepsilon(n) = [n=1]\) 单位函数

4、\(\sigma(n)\) 约数和函数

5、\(d(n)\) 约数个数函数

6、\(\varphi(n)\) 欧拉函数

7、\(\mu(n)\) 莫比乌斯函数

欧拉函数

见数论

莫比乌斯函数

\(\mu(n)=\begin{cases}1\hspace{1.5cm},n=1\\(-1)^k\hspace{0.8cm},n=p_1p_2...p_k\\0\hspace{1.5cm},\text{otherwise}\end{cases}\)

即每个质因数只出现最多\(1\)次

性质

\[\sum_{d\mid n}\mu(d)=[n=1] \]

由简单组合和二项式定理可证

约数个数函数

对于\(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}\)，它的因数个数有：

\(d(n)=(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_k)\)

不难发现也具有积性函数的性质

约数个数函数的上界

网上找到是\(\displaystyle d(n)\le n^{\frac{1.066}{\ln\ln n}}\)，亲测能用

线性筛求积性函数

只需要分三类讨论即可（见数论）

所有积性函数都可以对这三类数有具体处理方式

莫比乌斯反演

（接下来会用不是很数学的方法来解释）

对于积性函数\(f(x),g(x)\)，有

\[f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)f(\frac n d) \]

简单证明：

\[\displaystyle \sum_{d\mid n}\mu(d)f(\frac n d)=\sum_{d\mid n}\mu(d)\sum _{k|\frac n d}g(k)=\sum_{d\mid n}\sum _{k|\frac n d}\mu(d)g(k) \]

\[\displaystyle \hspace{2cm}=\sum_{k\mid n}g(k)\sum _{d| \frac n k}\mu(d)=\sum_{k\mid n}g(k)[\frac n k=1] \]

\[\displaystyle =g(n)\hspace{2.7cm} \]

理解第二行的交换枚举量最关键

我们尝试先枚举\(k\)：当\(k\)在\([1,n]\)范围枚举时，\(\displaystyle\frac n d\)的取值为\([k,n]\)，此时\(\displaystyle\frac n d\)的范围很难简单表示，反向考虑，\(\displaystyle d\in[1,\frac n k]\)，则有：\(\displaystyle \sum_{d\mid n}\sum _{k|\frac n d}\mu(d)g(k)=\sum_{k|n}\sum_{d|\frac n k}\mu(d)g(k)\)，完成枚举量的交换

狄利克雷卷积

\[(f\cdot g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac n d) \]

狄利克雷卷积是操作在积性函数上的二元函数，易知莫比乌斯反演是其子集

性质1：\(f\cdot g\)仍是一个积性函数（证明略）

性质2：任意两个积性函数都可以通过卷积得到另一个函数

常见卷积：

\(\mu\cdot 1=\varepsilon\)

\(\varphi \cdot 1=Id\)

\(\mu\cdot Id=\varphi\)

\(1\cdot 1=d\)

\(Id\cdot 1=\sigma\)

练习

P2522 [HAOI2011]Problem b

\(\ \ \ \ \displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1} ^m[\gcd(i,j)=k]\)

\(\displaystyle= \sum_{i=1}^{\lfloor \frac n k\rfloor}\sum_{j=1} ^{\lfloor \frac m k\rfloor}[\gcd(i,j)=1]\)

\(\displaystyle= \sum_{i=1}^{\lfloor \frac n k\rfloor}\sum_{j=1} ^{\lfloor \frac m k\rfloor}\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)\)

\(\displaystyle=\sum^{\min(\lfloor \frac n k\rfloor,\lfloor \frac m k\rfloor)}_{d=1}\mu(d)\sum_{i=1}^{\lfloor \frac n k\rfloor}\sum_{j=1} ^{\lfloor \frac m k\rfloor}[d\mid i][d\mid j]\)

\(\displaystyle=\sum^{\min(\lfloor \frac n k\rfloor,\lfloor \frac m k\rfloor)}_{d=1}\mu(d)\lfloor \frac n {kd}\rfloor\lfloor \frac m {kd}\rfloor\)

数论分块即可

细节理解

1、\(\displaystyle\lfloor \frac n {kd}\rfloor\lfloor \frac m {kd}\rfloor\) 的值为\(O(\sqrt n)\)级别

2、第四行中，\([d\mid\gcd(i,j)]=[d\mid i][d\mid j]\)

尝试自己证明

LCMSUM - LCM Sum

有好几种推法

\(\displaystyle \ \ \ \ \sum_{i=1}^n lcm(i,n)\)

\(\displaystyle =n\sum_{i=1}^n \frac {i}{\gcd(i,n)}\)

\(\displaystyle =n\sum_{d\mid n} \sum^n_{i=1}[\gcd(i,n)=d]\frac i d\)

\(\displaystyle =n\sum_{d\mid n} \sum^{\frac n d}_{i=1}[\gcd(i,\frac n d)=1]i\)

\(\displaystyle =n\sum_{d\mid n} \sum^{ d}_{i=1}[\gcd(i,d)=1]i\)

方法1

很巧妙地利用了一个结论：

观察\(\displaystyle \sum^{ d}_{i=1}[\gcd(i,d)=1]i\)，即为与\(d\)互质的数的和，考虑欧拉函数

结论：\(d>1\)时，\(\displaystyle \sum^{ d}_{i=1}[\gcd(i,d)=1]i=\frac{\varphi(d)d} 2\)

引理：\(n>1\)时，\(\varphi(n)\)为偶数，且\(x\)与\(n-x\)成对出现（\(\gcd(a,b)=\gcd(a,a-b)=1\)）

则\(\displaystyle \sum^{ d}_{i=1}[\gcd(i,d)=1]i\)为\(\displaystyle \frac{\varphi(d)} 2\)对\(x\)与\(d-x\)的和，得证

利用此结论化简：

\(\displaystyle =n\sum_{d\mid n} \frac{\varphi(d)d} 2\)

把\(d=1\)统一进来：

\(\displaystyle =\frac n 2\sum_{d\mid n} {d(\varphi(d)+\varepsilon(d))}\)

用埃筛即可跑出所有\(ans\)

方法2

暴力展开：

\(\displaystyle =n\sum_{d\mid n} \sum^{ d}_{i=1}\sum_{k\mid \gcd(i,d)} \mu(k)i\)

\(\displaystyle =n\sum_{d\mid n} \sum_{k\mid d} \mu(k)\sum^d_{k\mid i}i\)

\(\displaystyle =n\sum_{d\mid n} \sum_{k\mid d} \mu(k)k\sum^{\frac d k}_{i=1}i\)

\(\displaystyle =n\sum_{d\mid n} \sum_{k\mid d} \mu(k)k\cdot\frac {\frac d k\cdot(\frac d k+1)} 2\)

\(\displaystyle =\frac n 2\sum_{d\mid n} d\sum_{k\mid d} \mu(k)\cdot(\frac d k+1)\)

\(\displaystyle =\frac n 2\sum_{d\mid n} d\sum_{k\mid d} \mu(k)(Id(\frac d k)+1(\frac d k))\)

\(\displaystyle =\frac n 2\sum_{d\mid n} {d(\varphi(d)+\varepsilon(d))}\)

方法3

构造函数\(\to\)证积性\(\to\)线筛 link

最后一步也是埃筛

（感觉我在比赛中也构造不出来