[题解] Interval GCD

题目描述

给定一个数列\(A\)，有\(m\)次操作，分为两种：

1. 询问\([l, r]\)内所有数的\(gcd\)
2. 给\([l, r]\)内所有数加上\(d\)

显然，根据\(gcd\)的性质，它是很容易进行区间合并的，所以询问很好实现。

那么，瓶颈就在于操作二

这是区间操作，按照线段树的套路，我们可能会选择使用lazy tag

但是思考很久无果后，我们尝试转换思路

我们考虑题目的弱化版本，将区间加改为单点加，问题就很简单了。

所以，问题转变为如何将区间加转化为单点加，于是 ---- 差分！

但是，差分后怎么求\(gcd\)呢
于是，我们再次考虑\(gcd\)的性质，有\(gcd(a, b) = gcd(a, b - a)\)
于是，我们猜测，\(gcd(a, b, c, d, \cdots) = gcd(a, b-a, c-b, d-c, \cdots)\)
证明是显然的。
那么，我们就可以维护差分数组上的\(gcd\)，再维护前缀和以得到原数列中的值，这道题就做完了。

总结

区间加转化为单点加 \(\longrightarrow\) 差分！
\(gcd(a, b) = gcd(a, b - a)\)

My Problem: 拘泥于线段树对区间操作lazy tag的处理，没有考虑差分