快速乘（模乘）

快速乘

先定义 using ll = long long int，请实现一个函数 ll mul(ll x, ll y, ll p)，返回值为变量 x 和 y 在模 p 意义下的乘积（其中 x，y，p 在 long long int 范围内，并且是正数，满足 \(x,y<p\)）。

__int128 乘法

using ll = long long int;

ll mul(ll x, ll y, ll p) {
    return (__int128)x * y % p;
}

这种实现不算慢，但也不算快，不过正确性有保证。

时间复杂度 \(O(1)\)。

快速乘法

#include <algorithm>

using ll = long long int;

namespace detail {
    ll mo(ll x, ll p){
        return x >= p ? x - p : x;
    }
}

ll mul(ll x, ll y, ll p) {
    if (x < y) std::swap(x, y);
    ll ret = 0;
    while (y) {
        if (y & 1) ret = detail::mo(ret + x, p);
        x = detail::mo(x + x, p);
        y >>= 1;
    }
    return ret;
}

这种实现非常慢，不建议使用。

时间复杂度 \(O(\log(\min\{x,y\}))\)

long double 乘法

using ll = long long int;

namespace detail {
    using lf = long double;
    ll p;
    lf pinv;
    void init(ll _p) {
        p = _p;
        pinv = (lf)1.0 / p;
        return ;
    }
    ll mul(ll x, ll y) {
        ll z = x * pinv * y + 0.5;
        ll ret = x * y - z * p;
        return ret + (ret >> 63 & p);
    }
}

ll mul(ll x, ll y, ll p) {
    detail::init(p);
    return detail::mul(x, y);
}

或者

using ll = long long int;

namespace detail {
    using lf = long double;
    ll p;
    lf pinv;
    void init(ll _p) {
        p = _p;
        pinv = (lf)1.0 / p;
        return ;
    }
    ll mul(ll x, ll y) {
        ll z = x * pinv * y + 0.5;
        ll ret = x * y - z * p;
        return ret < 0 ? ret + p : ret;
    }
}

ll mul(ll x, ll y, ll p) {
    detail::init(p);
    return detail::mul(x, y);
}

这个非常的快，正确性也过拍了，但是不知道是否一定正确。

时间复杂度 \(O(1)\)。

此处 (ret >> 63 & p) 疑似 ret < 0 ? ret + p : ret。

实验数据

使用个人电脑，每次测试分别生成 \({10}^7\) 组随机的 \(x,y,p\)，满足 \(1\leq x,y<p\leq V\)，使用不同的实现分别测试 \(5\) 次，消耗时间取平均值。

实现	\(V\) 的取值	时间（单位：秒）
__int128 乘法	\({10}^{4}\)	0.139251
	\({10}^{9}\)	0.140033
	\({10}^{12}\)	0.332232
	\({10}^{18}\)	0.330044
快速乘法	\({10}^{4}\)	0.447848
	\({10}^{9}\)	1.07379
	\({10}^{12}\)	1.4065
	\({10}^{18}\)	2.13812
long double 乘法	\({10}^{4}\)	0.0566828
	\({10}^{9}\)	0.0598728
	\({10}^{12}\)	0.0564469
	\({10}^{18}\)	0.0576331

结论

• 不建议使用快速乘法，因为太慢了。
• 建议使用 long double 乘法，因为速度碾压性的快。