Large DP Editorial【翻译】

F - 大型DP表 论文

由 maroonrk_admin

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通过从反向观察DP，视野变得更加开阔。

我们考虑从坐标\((i,j)\)开始移动棋子，如果\(A_i < B_j\)，则\(j \mathrel{-}=1\)，如果\(A_i > B_j\)，则\(i \mathrel{-}=1\)。

在这种设定下我们进行讨论。
通过手动操作各种情况，我们发现以下性质。

• 固定某个坐标\((a,b)\)。将坐标\((i,j)\)（\(a \leq i\)，\(b \leq j\)）组成的矩形区域称为\(R(a,b)\)。问：从某个坐标\((c,d)\)开始的棋子何时会离开\(R(a,b)\)，是什么方向的移动？
  答案是，当\(\min{A[a,c]} < \min{B[b,d]}\)时为横向，否则为纵向。

证明可以通过归纳法进行。

利用这个性质来解决原问题。
由于纵向和横向在问题上是对称的，以下仅计算\(X\)的贡献。固定\((a,b)\)，考虑通过移动\((a,b) \to (a,b-1)\)对答案的贡献，结果为\(\displaystyle X_a\left(\sum_{a\leq c,b \leq d} [\min{A[a,c]} < \min{B[b,d]}] - \sum_{a+1\leq c,b \leq d} [\min{A[a+1,c]} < \min{B[b,d]}]\right)\)。
()内的\(2\)项几乎相同，因此只考虑第\(1\)项。再进一步考虑将\(a,b\)也移动并求和。
那么，与以下的和是等价的。

• 对于满足\(-1 \leq a \leq c \leq N\)，\(1 \leq b \leq d \leq M\)且\(\min{A[a,c]} < \min{B[b,d]}\)的整数组合\((a,c,b,d)\)，乘以\(X_a\)的系数并加到答案中。条件\([a,c], [b,d]\)仅通过\(\min\)来描述这一点是重要的。对每一个\(\min{A[a,c]}\)的值，将\([a,c]\)分类，对应地求出\(X_a\)的和（\([b,d]\)同理），这样就可以计算出上述问题。对\(\min{A[a,c]}\)的值进行分类的方法可以是任意的，比如使用数列的Cartesian Tree可以在\(O(N)\)的时间内完成。

其他所有操作也都能在\(O(N)\)的时间内完成，因此这个问题在整体上也可以在\(O(N)\)的时间内解决。

解答例