模式识别与机器学习(二)

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类间距离测度方法

1. 最近距离法

\(D_{kl} = min_{i,j} \lfloor d_{ij}\rfloor {a}\)
\(d_{ij}\)表示 \(\vec x_i \in w_k\) 和 \(\vec x_j \in w_l\) 之间的距离
用于链式结构分布的数据中

2. 最远距离法

\(D_{kl} = max_{i,j} \lfloor d_{ij}\rfloor {a}\)
\(d_{ij}\)表示 \(\vec x_i \in w_k\) 和 \(\vec x_j \in w_l\) 之间的距离

3. 中间距离法

$D^2_{kl} = \frac{1}{2} D^2_{kp} + \frac{1}{2} D^2_{kq} - \frac{1}{4}D^2_{pq} \( 假设有两类p,q，取p和q的并集为类\)l\(，p和q的中点记作\)D_{pq}\(，集合\)k\(到集合\)l\(的距离就为集合\)k\(到\)D_{pq}$的距离。

4. 重心距离法

两类之间的重心的距离。
\(D^2_{kl} = \frac{n_p}{n_p + n_q}D_{kp}^2+\frac{n_q}{n_p+n_q}D^2_{kq}-\frac{n_p n_q}{(n_p+n_q)^2}D_{pq}^2\)
其中，\(n_p\),\(n_q\)分别为类\(w_p\)和\(w_q\)的样本个数

5. 平均距离法

\(D^2_{pq} = \frac{1}{n_p n_q} \sum_{\vec x_i \in w_p,\\ \vec x_j \in w_q} d^2_{ij}\)
两类之间所有点之间距离的均值

6. 离差平方和法

\(s_l = \sum_{\vec x_i \in w_l} (\vec x_i - \vec x_l)^`(\vec x_i - \vec x_l)\)
\(w_t = w_p \bigcup w_q \\ D^2_{pq} = s_l - s_p - s_q\)
\(\downarrow \downarrow\)
\(D^2_{pq} = \frac{n_p n_q}{n_p + n_q}(\vec x_p - \vec x_q)^`(\vec x_p - \vec x_q)\)
\(\vec x_l \vec x_p \vec x_q\)分别为对应类的重心，递推公式为：
\(D^2_{kl} = \frac{n_k + n_p}{n_k + n_l}D^2_{kp} + \frac{n_k + n_q}{n_k + n_l}D^2_{kq} - \frac{n_k}{n_k + n_l}D^2_{pq}\)
即：类中的各个模式离均值的偏差的平方和
该定义适用于团状分布

点与集合间的距离

• 第一类: 对集合的分布没有先验知识时，可采用类间距离计算方法进行
• 第二类: 当知道集合的中点分布的先验知识时，可用相应的模型进行计算(点模型，超平面模型，超球面模型等)

判别分类结果好坏的一般标准: 类内距离小，类间距离大

聚类的准则函数

类内距离准则：

设有待分类的模式集{\(\vec{x_1},\vec x_2,...,\vec x_N\)}在某种相似性测度基础上被划分为\(C\)类，{\(\vec x_i^{(j)}; j=1,2,...c;i=1,2,...,n_j\)}类内距离准则函数\(J_W\)定义为：(\(\vec m_j\) 表示 \(w_j\)类的模式均值矢量。)

\[J_W = \sum^c_{j=1} \sum_{i=1}^{n_j} ||\vec x_i^{(j)} - \vec m_j ||^2 \]

类间距离准则

\[J_B = \sum_{j=1}^c (\vec m_j - \vec m)^`(\vec m_j - \vec m) => max \]

其中,\(\vec m_j\)为\(w_j\)类的模式平均矢量，\(\vec m\)为总的模式平均矢量。设\(n_j\)为\(w_j\)类所含模式个数，

\[\vec m_j = \frac{1}{n_j} \sum_{\vec x_i \in w_j} \vec x_i, \vec m = \frac{1}{N}\sum^N_{i=1} \vec x_i \]

对于两类问题，类间距离有时取

\[J_{B2} = (\vec m_1 - \vec m_2)^`(\vec m_1 - \vec m_2) \]

\(J_{B2}\)和\(J_{WB}\)的关系是

\[J_{WB} = \frac {n_1}{N} \frac{n_2}{N} J_{B2} \]

基于类内距离类间距离的准则函数
我们希望聚类结果使类内距离越小越好，类间距离越大越好。为此构造能同时反映出类内距离和类间距离的准则函数。
设代分类模式集{\(\vec x_i, i=1,2,...,N\)}，将它们分成\(c\)类，\(w_j\)含\(n_j\)个模式，分类后各模式记为

\[\{ \vec x_i^{(j)}, j = 1,2,...,c;i=1,2,...,n \} \]

\(w_j\)的类内离差阵定义为：

\[S^{(j)}_W = \frac{1}{n_j} \sum_{i=1}^{n_j} (\vec x_i^{(j)} - \vec m_j)(\vec x_i^{(j)} - \vec m_j)^` , (j=1,2,...,c) \]

式中\(\vec m_j\)为类\(w_j\)的模式均值矢量

\[\vec m_j = \frac{1}{n_j} \sum_{i=1}^{n_j} \vec x_i^j , (j=1,2,...,c) \]

总的类内离差阵定义为：\(S_W = \sum^c_{j=1} \frac{n_j}{N}S_W^{(j)}\)
类间离差阵定义为: \(S_B = \sum^c_{j=1} \frac{n_j}{N} (\vec m_j - \vec m)(\vec m_j - \vec m)^`\)
其中，\(\vec m\)为所有待分类模式的均值矢量: \(\vec m = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \vec x_i\)
总的离差阵\(S_r\)，定义为：\(S_r = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N(\vec x_i - \vec m)(\vec x_i - \vec m)^`\)
于是有：\(S_r = S_W + S_B\)

基于类内距离类间距离的准则函数
聚类的基本目的是使\(Tr[S_B] => max\)或\(Tr[S_W] => min\)。利用线性代数有关矩阵的迹和行列式的性质，可以定义如下4个聚类的准则函数：

\[J_1 = Tr[S^{-1}_W S_B] \\ \\ J_2 = |S^{-1}_W S_B| \\ \\ J_3 = Tr[S^{-1}_W S_T] \\ \\ J_4 = |S^{-1}_W S_T| \]

为了得到好的聚类结果，应该使这四个准则函数尽量的大。

聚类分析聚类分析算法归纳起来有三大类：

1. 按最小距离原则简单聚类方法
2. 按最小距离原则进行两类合并的算法
3. 依据准则函数动态聚类的算法

简单聚类方法
针对具体问题确定相似性阙值，将模式到各聚类中心间的距离与阙值比较，当大于阙值时，该模式就作为另一类的类心，小于阙值时，按最小距离原则将其划分到某一类中。
该类算法运行中，模式的类别及类的中心一旦确定将不会改变

按最小距离原则进行两类合并的算法
首先视各模式自成一类，然后将距离最小的两类合并成一类，不断重复这个过程，直到成为两类为止。
这类算法运行中，类心会不断进行修正，但模式类别一旦指定后就不会再改变，即模式一旦划为一类后就不再被分划开，这类算法也成为谱系聚类法。

依据准则函数动态聚类的算法
设定一些分类的控制参数，定义一个能表征聚类结果优劣的准则函数，聚类过程就是使准则函数取极值的优化过程。
算法运行中，类心不断地修正，各模式的类别的指定也不断地更改。这类算法有--C均值法、ISODATA法等

根据相似性阙值的简单聚类方法

1. 根据相似性阙值和最小距离原则的简单聚类方法

1. 条件及约定
   设待分类的模式为{\(\vec x_1, \vec x_2, ..., \vec x_N\)}，选定类内距离门限\(T\)。
2. 算法思想
   计算模式特征矢量到聚类中心距离并和门限\(T\)比较，决定归属该类或作为新的一类中心。这种算法通常选择欧式距离。
3. 算法原理步骤

• 取任意的一个模式特征矢量作为第一个聚类中心。例如，令类\(w_1\)的中心 \(\vec z_1 = \vec x_1\)
• 计算下一个模式特征矢量\(\vec x_2\)到\(\vec z_1\)的距离\(d_{21}\)。若\(d_{21} > T\)，其中\(T\)为门限，则建立一个新类\(w_2\)，其中心为$\vec z_2 = \vec x_2 \(。若\)d_21 \leq T\(，则\)\vec x_2 \in w_1$
• 假设已有聚类中心\(\vec z_1, \vec z_2, ..., \vec z_k\)，计算尚未确定类别的模式特征矢量\(\vec x_1\)到各聚类中心\(\vec z_i(j = 1,2,...,k)\)的距离\(d_{ij}\)。如果\(d_{ij} > T(j=1,2,...,k)\)，则\(\vec x_i\)作为新的一类\(w_{k+1}\)的中心，\(\vec z_{k+1} = \vec x_i\)；否则，如果\(d_{ij} = min_j[d_{ij}]\)，则指判\(\vec x_i \in w_j\)。检查是否所有的模式都分划完类别，如果划完了则结束；否则重新进行该部分。

4. 算法特点
   这类算法的突出特点是算法简单。但聚类过程中，类的中心一旦确定将不会改变，模式一旦指定类后也不再改变。
   该算法结果很大程度上依赖于距离门限\(T\)的选取及模式参与分类的次序。如果能有先验知识指导门限\(T\)的选取，通常可以获得比较合理的效果。也可考虑设置不同的\(T\)和选着不同的次序，最后选择较好的结果进行比较。

2. 最大最小距离算法

1. 条件及约定
   设待分类的模式为{\(\vec x_1, \vec x_2, ..., \vec x_N\)}，选定比例系数\(\theta\)。
2. 算法思想
   在模式特征矢量集中以最大距离原则选取新的聚类中心。以最小距离原则进行模式归类。这种方法通常也使用欧式距离。
3. 算法原理步骤

• (1) 任选一模式特征矢量作为第一聚类中心\(\vec z_1\)，如\(\vec z_1 = \vec x_1\)
• (2) 从待分类矢量集中选距离\(\vec z_1\)最远的特征矢量作为第二个聚类中心\(\vec z_2\)
• (3) 计算未被作为聚类中心的各模式特征矢量{\(\vec x_i\)}与\(\vec z_1, \vec z_2\)之间的距离，并求出它们之间的最小值，即

\[d_{ij} = || \vec x_i - \vec z_j || (j = 1,2) \\ d_i = min[d_{i1}, d_{i2}] (i=1,2,...,N) \]

• (4) 若\(d_l = max_i[min(d_{i1}, d_{i2})] > \theta||\vec z_1 - \vec z_2||\)，则相应的特征矢量，\(\vec x_l\)作为第三个聚类中心，\(\vec z_3 = \vec x_l\)，然后转至(5)，否则转至最后一步(6)
• (5) 设存在\(k\)个聚类中心，计算未被作为聚类中心的各特征矢量到各聚类中心的距离\(d_{ij}\)，并计算出

\[d_l = max_i[min[d_{i1}, d_{i2},...,d_{ik}]] \]

如果\(d_l > \theta||\vec z_1 - \vec z_2||\)，则\(\vec z_{k-1} = \vec x_l\)并转至(5)，否则转至(6)

• (6) 当判断出不再有新的聚类中心之后，将模式特征矢量{\(\vec x_1, \vec x_2,...,\vec x_N\)}，按最小距离原则分到各类中去，即计算

\[d_{ij} = ||\vec x_i - \vec z_j|| (j=1,2,...;i=1,2,...,N) \]

当\(d_{il} = min_j[d_{ij}]\)，则判\(\vec x_i \in w_l\)

4. 算法特点
   该算法的聚类结果与参数\(\theta\)以及第一个聚类中心的选取有关。如果没有先验知识指导\(\theta\)和\(\vec z_1\)的选择，可适当调整\(\theta\)和\(\vec z_1\)，比较多次试探分类结果，选取最合理的一种聚类。

谱系聚类法
按最小距离原则不断进行两类合并，也称为层次聚类法，系统聚类法

1. 条件及约定
   设待分类的模式特征矢量为{\(\vec x_1, \vec x_2, ..., \vec x_N\)}，\(G_i^{(k)}\)表示第\(k\)次合并时的第\(i\)类。
2. 算法思想
   首先将\(N\)个模式视作各自成为一类，然后计算类与类之间的距离，选择距离最小的一对合并成一个新类，计算在新的类别划分下各类之间的距离，再将距离最近的两类合并，直至所有模式聚成两类为止。
3. 算法原理步骤

• (1) 初始分类。令\(k=0\)，每个模式自成一类，即

\[G_i^{(0)} = \{\vec x_i\}(i = 1,2,...,N) \]

• (2) 计算各类间的距离\(D_{ij}\)，由此生成一个对称矩阵\(D^{(k)} = (D_{ij})_{m * m}\), \(m\)为类的个数,(初始 \(m = N\))。
• (3) 找出在(2)中求得的矩阵\(D^{(k)}\)中的最小元素，设它是\(G_i^{(k)}\)和\(G_j^{(k)}\)间的距离，将\(G_i^{(k)}\)和\(G_j^{(k)}\)两类合并成一类，于是产生新的聚类 \(G_1^{(k+1)}, G_2^{(k+1)}\), ...令 \(k = k+1, m = m-1\)
• (4) 检查类的个数。如果类数\(m\)大于2，转至(2)；否则，停止。

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