胡不归模型

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中考必备，难度5颗星！

胡不归模型

古老传说

从前有个少年外出求学，某天得知老父亲病危的消息后便立即回家。根据两点之间线段最短，虽然从他此刻位置\(A\)到家\(B\)之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，然而，当他赶来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。邻居告诉他，在弥留之际，老人在不断地叨念:“胡不归?胡不归?”
这个古老的传说，引起了人们的思索：少年忽略了在驿道行走比在砂地行走快的这一因素.他如何才能选择一条时间最短的路线?这就是风靡千百年的“胡不归”问题.

问题简化
现在把问题理想化：\(AB=200km\)，\(∠ABC=30°\)，在驿道跑步速度\(v_1=20km/h\)，在砂土地跑步速度\(v_2=10km/h\)，少年在驿道先走一段距离到\(D\)，再走砂土地，求归途总时间\(t\)的最小值.

解析 归途总时间\(t=\dfrac{A D}{10}+\dfrac{B D}{20}=\dfrac{1}{10}\left(A D+\dfrac{B D}{2}\right)\)，即问题转化为求 \(A D+\dfrac{B D}{2}\)的最小值.
如下图作角\(∠CBE=30°\)，过点\(D\)作\(DF⊥BE\)，

则\(\dfrac{B D}{2}=D F\)，总用时\(t=\dfrac{A D}{10}+\dfrac{B D}{20}=\dfrac{1}{10}(A D+D F)\)，
过点\(A\)作\(AH⊥BE\)，
显然\(AD+DF\)取到最小值为\(A H=A B \sin \angle A B H=200 \sin 60^{\circ}=100 \sqrt{3}\)，
即归途总时间\(t=\dfrac{1}{10}(A D+D F)\)的最小值\(10 \sqrt{3} h \approx 17 h\).

模型归纳

胡不归模型涉及两个定点和一个动点，且动点在一直线上.
如下图，点\(A\)、\(B\)是定点，点\(P\)在\(BC\)上的一动点，\(∠ABC=α\)，
求\(PA+k\cdot PB(0<k<1)\)的最小值.

解题思路是“折转直”，通过构造把\(k\cdot PB\)转化为一线段，基本步骤如下，
(1)在系数不为\(1\)的线段的端点处作一角\(∠CBD=β\)，使得\(\sin⁡β=k\)；
(2)过动点\(P\)作\(PE⊥BD\)，构造直角三角形\(∆BEP\)，可得\(k\cdot PB=PE\)，
则\(PA+k\cdot PB\)的最小值就是\(PA+PE\)的最小值；
(3)当过点\(A\)作\(BD\)垂线，垂足为\(F\)，\(PA+k\cdot PB\)的最小值为\(A F=A B \sin (\alpha+\beta)\).

胡不归模型可解决\(PA+k\cdot PB(0<k<1)\)的最值问题，其动点\(P\)在直线上运动，更一般的问题\(PA+k\cdot PB(k>1)\)，\(m\cdot PA+n\cdot PB(m>0，n>0)\)也可进行转化处理.

例题详解

如图，平面直角坐标系中，一次函数\(y=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} x+\sqrt{3}\)分别交\(x\)轴、\(y\)轴于\(A\)、\(B\)两点，若\(C\)是\(x\)轴上的动点，则\(4BC+2AC\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\).

解析
1 确定模型
依题意可得\(B(0， \sqrt{3})\)，\(A(3，0)\)是定点，动点\(C\)在直线上，求\(4BC+2AC\)的最小值，属于胡不归模型；
2 问题转化
(1)\(4BC+2AC\)不符合“\(PA+k\cdot PB(0<k<1)\)”形式，需变形\(4 B C+2 A C=4\left(B C+\dfrac{1}{2} A C\right)\)，问题转化为求\(B C+\dfrac{1}{2} A C\)最小值.
(胡不归模型能直接处理\(PA+k\cdot PB(0<k<1)\)的最值问题)
(2)过点\(A\)作\(∠OAE=30°\)，作\(CD⊥AE\)于\(D\)，则\(\dfrac{1}{2} A C=A D\)，
(在\(B C+\dfrac{1}{2} A C\)中系数不为\(1\)的\(AC\)端点处作一角\(30°\)，使得\(\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}\))
所以\(B C+\dfrac{1}{2} A C\)最小值转化为\(BC+CD\)的最小值，

3 求最值
显然当\(B、C、D\)在同一条直线上时，\(B C+\dfrac{1}{2} A C=B C+C D\)最小，
过\(B\)点作\(BH⊥AE\)于\(H\)，
\(\because B(0， \sqrt{3})\)，\(A(3，0)\)， \(\therefore \angle B A O=30^{\circ}\)，
又\(\because \angle O A E=30^{\circ}\)， \(\therefore \angle O A E=\angle B A O\)，
又\(\because OA=OA\)， \(∠AOB=∠AOE=90°\)，
\(\therefore ∆AOB≅∆AOE\)，\(\therefore O E=O B=\sqrt{3}\)，
\(\therefore\angle B E=2 \sqrt{3}\)，
\(\therefore B H=A B \cdot \sin 60^{\circ}=2 \sqrt{3} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\)，
\(\therefore B C+\dfrac{1}{2} A C\)最小值是\(3\)，
\(\therefore 4 B C+2 A C=4\left(B C+\dfrac{1}{2} A C\right)\)最小值是\(12\).