AtCoder Beginner Contest 243 题解

A,B题过水已隐藏

C题 Collision 2

给定 \(n\) 个动点，每个点有向左或向右运动方向和初始坐标 \((x_i,y_i)\) ，问是否存在相撞的点？

\(n\le2e5,0 \le x_i,y_i\le1e9\)

此题的启示：无。

注意到一个显然的性质，点只会左右运动，也即只有相同纵坐标的点可能相撞，于是按 \(y\) 为第一关键字，\(x\) 为第二关键字排序，如果当前的点是向左，那么记录一下，如果后面出现了向右的点匹配就有解，一直找不到则无解。

D题 Moves on Binary Tree

一棵无限大的二叉树，根节点是 \(1\) ，点 \(i\) 的左儿子和右儿子是 \(2i\) 和 \(2i+1\) ，开始在节点 \(X\) ，给定一个长为 \(n\) 操作字符串，有回到父亲，去左儿子，去右儿子三种操作，求最后所在节点编号。

\(1\le n\le 1e6\) ，保证最后的答案在 \(1e18\) 之内。

此题的启示：大数运算(非高精度)考虑二进制下的意义

开始看错范围 \(TLE\) 了一发，暴力做的话，答案显然是指数级增长的，考虑当前所在节点编号在二进制下的状态，如果向左走就是末尾加上一个 \(0\) ，向右就是末尾加上一个 \(1\) ，向上就是最高位减少一位，最后得到一个二进制串，把二进制转成十进制，于是线性复杂度解决问题。

E题 Edge Deletion

给定一个 \(n\) 个点，\(m\) 条边的简单无向图，在不影响任意两个点的最短路长度的情况下删去最多的边，求这个边数

\(2\le n\le 300\)

此题的启示：看到不影响最短路的限制，先考虑最短路本身的性质，而不是最短路径树。

我开始的想法是建出最短路径树，不过并不是很可做？

对每条边分别考虑，假设当前边连接 \((s,t)\) ，长度是 \(w\) ，如果存在另一条不同的 \(s\) 到 \(t\) 的路径，且该路径长度 \(\le w\)，那么这条边删去，对当前的最短路长度无影响，对于其他点，由于这条边并不是 \((s,t)\) 间的最短路，所以其他需要经过 \(s\) 或 \(t\) 的最短路也不会经过这条边，所以对任意两点的最短路长度均无影响，可以删去，于是只需要 \(floyd\) 求出全源最短路，然后对于每条边，枚举除了边的端点以外的其他点，看是否存在这样一条其他路径即可。

G题 Sqrt

给定一个数 \(X\) ，可以在 $[1,\lfloor { \sqrt{X} }\rfloor ] $ 中选择一个数接在当前数的后面，依此类推进行无限次，求最后能得到多少种不同的数列。

\(1\le X\le9e18\)

此题的启示：如果根号算法还是太慢，考虑计算根号时可能存在的重复状态。

你发现最后肯定开平方开到 \(1\) 去。

显然的做法，设 \(f_i\) 是数字 \(i\) 能形成的不同数列个数，那么 \(f_i=\sum_{j=1}^{\lfloor { \sqrt{X} }\rfloor}{f_j}\) 。

\(O(\sqrt{X})\) 的做法，肯定超时。

注意一个性质，在计算 \(f_1,f_2,...,f_{\sqrt{x}}\) 的过程中，涉及到的 \(f\) 数组不同下标数量只会有大约 \(X^\frac{1}{4}\) 种不同的数。

证明很显然，根号下再次开根即可，如果仍然不理解，手算 \(f_{16}\) 估计就理解了。

也就是说，之前的暴力 \(DP\) ，计算了很多重复状态 (比如每次都会计算 \(f_1\) ，几乎每次都会计算 \(f_2\) \(......\) 等等)，那么直接枚举 \(X\) 的子二代（就是把计算 \(f_X\) 需要的每个 \(1,2,...,\sqrt{X}\) ，都再次用暴力 \(DP\) 拆一次得到的那些数），考虑当前子二代中枚举到 \(i\) ,那么在子一代中，\([i^2,\sqrt{X}]\) 这些数字都会包含 \(i\) 的计算项，于是 \(i\) 对应的方案 \(f_i\) 对总答案贡献 \(\sqrt{x}-i^2+1\) 次。

方程显然，只需要枚举到 \(X^\frac{1}{4}\) 即可，可以通过。

EX题 Builder Takahashi (Enhanced version)

\(min-max\) 容斥搞一波，具体还不是很会。