AtCoder Beginner Contest 236 题解

\(A,B,C\) 题过水，不作赘述，我的 \(Atcoder\) 号是 \(Complex\) ，需要代码可以去找找。

\(D\) 题 \(Dance\)

把 \(2n\) 个人按每组两人分成 \(n\) 组，第 \(i\) 人和第 \(j\) 人同一组会产生 \(A_{i,j}\) 的贡献，求 \(n\) 组贡献值的异或和最大值。

\(1\le n\le8\)

评分 \(1190\) ，其实真实难度完全达不到这个分的难度。

注意到数据很小，提示我们搜索也许可做，直接枚举排列然后按顺序两个人分一组，复杂度是 \(O((2n)!)\) ，肯定过不去，又注意到有很多重复计算的情况，选择时给人打标记，如果当前人已经有标记，直接去下一层，否则枚举比当前的人编号大的且未被分组的人进行搜索，每次人数减少 \(2\) ，最大复杂度是 \(15*13*...*1\) ，可过。

\(E\) 题 \(Average\) \(and\) \(Median\)

给定 \(n\) 个数的序列 \(A\) ，相邻的两个数里面至少要有一个被选出来，求选出来的数字构成的新序列的平均值和中位数最大值，设新序列长度是 \(L\) ，其中中位数的定义为该序列中从小到大数第 \(\lceil L/2\rceil\) 大的数字。

\(2\le n\le 100000\) , \(1 \le A_i\le10^9\)

评分 \(1900\) ，是一道质量很高的题目。

其实见到平均数和中位数的常用套路就是二分答案，这题第一步就是二分这两个数字。

注意到一个序列的平均数如果大于 \(K\) ，那么序列中每个数减去 \(K\) 之后，序列和一定 \(>0\) ，利用这个性质，我们直接在二分答案判定时，对 \(A\) 中的数字都减去当前判定的答案 \(mid\) ,此时在满足题目要求的选数规则的前提下，如果能选出一个和 \(>0\) 的子序列，那么这个平均数就是合法的 ，可以尝试更大的数字，那么怎么找这个子序列呢？其实只需要能选出的最大子序列和 \(>0\) 就行了，用一个线性 \(DP\) 解决。

设 \(f[i][1/0]\) 表示在前 \(i\) 个数里面选择，且 第 \(i\) 个数保证是选/不选的最大子序列和。

那么根据题意，相邻的数必须至少选一个，方程很好写：

\(f[i][1]=max(f[i-1][0],f[i-1][1])+a[i]-mid\) ，当前已经选，上一个选不选都可以

\(f[i][0]=f[i-1][1]\) ，当前没选，上一个必须选

最后判断 \(max(f[n][1],f[n][0])\) 是否是 \(\ge0\) 即可（注意取等！）。

那么中位数呢？方法是类似的，中位数一定是原序列中的某一个数，于是重新用一个数组复制一次 \(A\) 序列，然后从小到大排序（不能直接对 \(A\) 排序，这样会打乱相邻数位置），然后二分下标即可，对 \(\ge\) 当前判断答案的数字的权值设为 \(1\) ，其余设为 \(-1\) ，求最大子序列和是否 \(>0\) 即可（注意此处不取等）。

时间复杂度 \(O(nlogn)\) 。