AtCoder Regular Contest 133 题解

\(A\) 题 \(Erase\) \(by\) \(Value\)

给定一个长度为 \(n\) 的数列，你可以确定一个数 \(x\) ，从中删去所有值为 \(x\) 的数，使得剩下的数列字典序最小。

\(1 \le n \le 200000\)

难度评分 \(265\) ，简单贪心题。

字典序最小，等价于越靠前的数字越小，所以在从前往后考虑时，就不必考虑当前位置后面的数字，考虑数列中相邻的两个数

\(a_i,a_{i+1}\) ， 如果 \(a_i > a_{i+1}\) ，那么 \(a_{i+1}\) 排在前面必然比排在后面字典序小，这时如果还有删除次数，那么就删除

\(a_i\) 对应的所有数，必然使得字典序最小，正确性显然，时间复杂度 \(O(n)\)。

\(B\) 题 \(Dividing\) \(Subsequence\)

给定两个长度为 \(n\) 的排列 \(P,Q\) ，从两排列中选出下标相同的子序列，使得 \(Q\) 中选出的子序列的每一项都是 \(P\) 中选出的子序列对应那一项的倍数，求这样的最长序列长度。

\(1 \le n \le 200000\)

难度评分 \(1315\) ，比上一题难了几个档次，但其实还是比较套路的题目。

这题我开始的想法是，把 \(P\) 中的数字下标向 \(Q\) 中对应的数字的倍数的下标想成区间，也可以理解为连一条边，这样就转化为了从一些区间中取出一些区间，使得剩下区间两两交集为空的最大区间数，这是一个经典的贪心问题。

但这样做存在一些问题，比如由后向前的对应和由前向后的对应不好区分，于是考虑换个思路。

其实这题是一道叫做友好城市的题目的扩展题，有兴趣的可以去了解。

求最长的序列长度，自然也会想到求 \(LIS\) ，在这个问题中，如果不把之前位置间的对应想成区间，而是想成一个数对，那么形式化地，有如下转化：

有数对 \((i_1,j_1),(i_2,j_2)......(i_k,j_k)\) 这么一些数对，选出最多的数对，使得选出的数对 \(i,j\) 都单调递增。

这种问题的一类通用解法是(包括友好城市那题也是如此)，按照一维排序，剩下的一维求最长上升子序列。

但此处 \(i,j\) 都是有重复数字的，如果只单纯的按 \(i\) 排序，必然会出现问题，注意到问题在于 \(i\) 相同的数对是不能同时选的，那应该用怎样的排序方式才能避免这种情况呢？考虑 \(LIS\) 的条件，必然是从前面的一个比当前小的数字转移到当前，所以说如果把 \(i\) 相同的数字按 \(j\) 从大到小排序，对于这些 \(i\) 相同的数里面，前面的数，\(j\) 都比当前的 \(j\) 大，就成功的避免了这种情况。

时间复杂度 \(O(nlogn)\) ，就是求 \(LIS\) 的时间，可以二分求，可以权值线段树优化 \(DP\) 求。

\(C\) 题 \(Row\) \(Column\) \(Sums\)

有一个 \(n\) 行 \(m\) 列的矩阵，可以在其中的每个格子填 \([0,k-1]\) 中的数，给定 \(A,B\) 两个数列，要使得：

第 \(i\) 行的数字之和模 \(k\) 为 \(A_i\) 。

第 \(i\) 列的数字之和模 \(k\) 为 \(B_i\) 。

求合法矩阵中数字之和的最大值，若不存在，输出 \(-1\) 。

\(1 \le n,m,k\le 200000\)

难度评分 \(1583\) ，比较巧妙的贪心题，首先注意到求数字和的最大值，那么一类常用的思考方向是，考虑在所有格子都填上最大的数 \(k-1\) ，然后再来尽可能少地减去一些数使得条件成立。

独立地统计每一行，每一列需要减少的值，由于是模意义下，所以求出的值是最小的需要减少的值，设行上需要减少的值之和为 \(s1\) ，列为 \(s2\) ，那么具体的操作方案是，若 \(s1<s2\) ，在对每一列进行减少时，减少的位置是当前列需要减少的那些行的位置，如果当前列没有行可以继续减少了，那么不妨从当前列的第一行进行减少，这样我们保证了列的正确性，再看行，因为二者减少后，行之和与列之和模意义下必然相等，否则就是无解，而在有解的情况下，第一行那些被迫减少的只会让第一行进入下一个模数周期，也保证了正确性。

复杂度是 \(O(n+m)\) 的。