连续函数

1.基本定义

定义：设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某个领域内有定义，且 \(\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)\)，则称 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 连续。与极限类似，同样存在单侧连续。

\(C(a, b) = \{f(x) | f(x) 在 (a,b) 上连续\}\)，其他的区间类似。

第一类间断点: \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处极限存在,但 \(\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)\).

第二类间断点: \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处极限不存在.

example 1
证明 \(f(x) = a^x (a > 0, a \neq 1)\) 在 \(\mathbb R\) 上连续。
即证 \(\forall x_0 \in \mathbb R, \lim_{x \to x_0} a^x = a ^ {x_0} \Rightarrow \lim_{x \to x_0}{a^{x-x_0}} = 1 \Rightarrow \lim_{t \to 0} a ^ t = 1\)

\[\forall \varepsilon > 0,不妨设 \varepsilon < 1, 令\delta = \min\{\frac{\ln{{(1+\varepsilon)}}}{\ln{a}}, -\frac{\ln{(1-\varepsilon)}}{\ln{a}}\}, 当 |t| < \delta时，|a^t - 1| < \varepsilon \]

example 2
讨论 Riemann函数的连续性。
\(\mathcal R(x) = \begin{cases} \dfrac 1 n, x = \dfrac m n \in \mathbb Q \setminus \{0\}, \gcd(m, n) = 1, n \in \mathbb N \\\\0, x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \cup \{0\}\end{cases}\)
\(\forall a \in \mathbb R\)，其任意一个有界邻域 \(U(a, \delta), \forall N \in \mathbb N\), 在 \(U(a)\) 中只有有限个满足 \(n < N\) 的有理数 \(\dfrac m n, m \in \mathbb Z, n \in \mathbb N\).只要缩小邻域就能保证 \(\mathring{U}(a)\) 中的有理点分母全部大于 \(N\) ,因为对于小于 \(N\) 的整数这样构造出的有理数不够稠密.

证明 : \(\forall \varepsilon > 0\), 令 \(N = \big[\dfrac{1}{\varepsilon}\big] + 1\), 可找到 \(\mathring{U}(a, \delta)\) 其中的有理点分母 \(n > N\), 所以 \(\mathcal R(x) = \dfrac 1 n < \varepsilon. \forall a \in \mathbb R, \lim_{x \to a} \mathcal R(x) = 0\)
因此 Riemann函数在所有无理点和点\(0\)连续,在其余点间断且为第一类间断点.