随笔分类 - 数学
摘要：概念 下面除法皆表示整除 求： $$\sum_{i=1}^n \frac n i$$ 显然，暴力 $O(n)$，但有很多结果是相同的，所以可以分段每一段分别处理，大概有 $\sqrt n$ 段 令这一段的左端点（最小值）为 $l$，设 $k=\dfrac n l$，我们要找一个最大值 $r$ 满足
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摘要：题目链接 题目 给定两个整数 l 和 r ，对于所有满足1 ≤ l ≤ x ≤ r ≤ 10^9 的 x ，把 x 的所有约数全部写下来。对于每个写下来的数，只保留最高位的那个数码。求1～9每个数码出现的次数。 思路 显然数论分块 然后统计一下每一块内1到9出现的情况乘上 $n/l$ 即可 Code
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摘要：题目地址 题目 求 $$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} (n \bmod i) \times (m \bmod j), i \neq j$$ mod 19940417 的值 思路 设 $n\leq m$ $$\Large\sum_{i=1}^{n} (n \bmod i)
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摘要：题目地址 题目 若 $x$ 分解质因数结果为 $x=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}$，令$f(x)=(k_1+1)(k_2+1)\cdots (k_n+1)$，求 $\sum_{i=l}^rf(i)$ 对 $998,244,353$ 取模的结果。 思路 显然，$
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摘要：题目地址 题目 思路 以下分数皆表示整除 $$\Large\max(n\bmod i)\\Large=\max(n-\frac n i\times i)\\Large=n+\max(-\frac n i\times i)\\Large=n-\min(\frac n i \times i)$$ 显然，
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摘要：题目地址 题目 给出正整数 $n$ 和 $k$，请计算 $$G(n, k) = \sum_{i = 1}^n k \bmod i$$ 其中 $k\bmod i$ 表示 $k$ 除以 $i$ 的余数。 思路 数论分块 下面除法默认下取整 $$\Large G(n, k)\\Large = \sum_{
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摘要：$$\Large y=ax^2+bx+c$$ $$\Large y=a(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}) $$ $$\Large y=a(x^2+2\times x\times \dfrac b {2a}+\dfrac c a)$$ $$\Large y=a[x^2+2
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摘要：有一元二次方程： \(\Large ax^2+bx+c=0\quad(a\ne 0)\) 其两个根为： $$\Large x_1=\frac{-b+\sqrt{b2-4ac}}{2a},x_2\frac{-b-\sqrt{b2-4ac}}{2a} \quad(\vartriangle=b^2-4ac
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摘要：D1T4 小学生计数题 题目 作为 GDOI 的组题人，小 Y 需要整理手中已有的题目，考虑它们的难度以及所考察的知识点，然后将它们组成数套题目。 小 Y 希望先能组出第一套题目，为了整套题目具有良好的区分度，在一套题目中： 所有题目的难度需要能排成等差数列；（也就是说，若将所有题目按难度从小到大排
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摘要：求： $$\Large\begin{cases}S\equiv b_1\pmod {a_1}\ S\equiv b_2\pmod {a_2}\ \cdots\ S\equiv b_i\pmod {a_i}\ \cdots\ S\equiv b_n\pmod {a_n}\ \end{cases}$$
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摘要：题目 原题来自：Romania OI 2002 求 \(A^B\) 的所有约数之和 \(\bmod 9901\)。 思路 首先按照算术基本定理: \(\Large A=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times\cdots\times p_n^{k_n}\) 所以： \(\Lar
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摘要：题目 原题来自：POI 2012 给出一个由小写英文字母组成的字符串 S，再给出 q 个询问，要求回答 S 某个子串的最短循环节。 如果字符串 B 是字符串 A 的循环节，那么 A 可以由 B 重复若干次得到。 思路 首先，我们如果有三点： 一个字符串的循环节必然是字符串长度的约数 循环节的倍数如果
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摘要：题目链接 题目 单身！ 依然单身！ 吉哥依然单身！ DS 级码农吉哥依然单身！ 所以，他平生最恨情人节，不管是 \(214\) 还是 \(77\)，他都讨厌！ 吉哥观察了 \(214\) 和 \(77\) 这两个数，发现： \(2+1+4=7\) \(7+7=7×2\) \(77=7 × 11\)
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摘要：题目链接 题目 佳佳对数学，尤其对数列十分感兴趣。在研究完 Fibonacci 数列后，他创造出许多稀奇古怪的数列。例如用 \(S(n)\) 表示 Fibonacci 前 \(n\) 项和 \(\bmod m\) 的值，即 \(S(n)=(F_1+F_2+...+F_n)\bmod m\)，其中 \
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摘要：题目链接 题目 定义$f(n) = |n - \sum_{d|n,d\not =n}d|$。 每次给出$A,B$，求$\sum_{i=A}^B f(i)$。 对于$100%$的数据，\(A,B\le 10^7\)。 思路 看到 \(A，B\) 的范围，想着能不能快速求 \(f(n)\)。 难点就在于
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摘要：题目链接 题目 给定一个数字 \(N\)，请问有哪些区间 \([L,R]\) 使得 \(\sum_{i=L}^R i=N\)。 请按 \(L\) 从小到大的顺序输出所有区间。 思路 根据题意我们可以列出方程： \(\frac{(L+R)(R-L+1)}{2}=n\) 也就是： \((L+R)(R-L
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摘要：题目链接 题目 给定一个多项式 \((by+ax)^k\)，请求出多项式展开后 \(x^n\times y^m\) 项的系数。 思路 根据二项式定理 \((a+b)^k=\sum_{i=0}^kC_{k}^ia^ib^{k-i}\) 我们可以把原式变为： \((ax+by)^k=\sum_{i=0}
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摘要：题目链接 题目 有 \(N+M\) 个问题，其中有 \(N\) 个问题的答案是 YES，\(M\) 个问题的答案是 NO。当你回答一个问题之后，会知道这个问题的答案，求最优策略下期望对多少。 答案对 \(998244353\) 取模。 思路 首先假设撇开算期望，就一个贪心，如果 \(n>m\)，我们
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摘要：题目链接 题目 在一个 \(2\) 维平面上有两条传送带，每一条传送带可以看成是一条线段。两条传送带分别为线段 \(\text{AB}\) 和线段 \(\text{CD}\)。lxhgww 在 \(\text{AB}\) 上的移动速度为 \(P\)，在 \(\text{CD}\) 上的移动速度为 \
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摘要：组合数学的推式子题公式基本上都有了 \(\Large\sum_{i=0}^nC_n^i=2^n\) \(\Large\sum_{i=0}^nC_n^i(-1)^i=0\) \(\Large\sum_{i=0}^nC_n^ix^i=(1+x)^n\) \(\Large C_n^kC_k^i=C_n^i
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