[ 题解 ] [ 数学 ] [ BZOJ3028 ] 食物 food ( 生成函数入门 )

BZOJ3028 食物

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题目描述

明明这次又要出去旅游了，和上次不同的是，他这次要去宇宙探险！我们暂且不讨论他有多么 NC，他又幻想了他应该带一些什么东西。理所当然的，你当然要帮他计算携带 \(N\) 件物品的方案数。他这次又准备带一些受欢迎的食物，如：蜜桃多啦，鸡块啦，承德汉堡等等当然，他又有一些稀奇古怪的限制：每种食物的限制如下：

承德汉堡：偶数个
可乐：\(0\)个或\(1\)个
鸡腿：\(0\)个，\(1\)个或\(2\)个
蜜桃多：奇数个
鸡块：\(4\)的倍数个
包子：\(0\)个，\(1\)个，\(2\)个或\(3\)个
土豆片炒肉：不超过一个。
面包：\(3\)的倍数个

注意，这里我们懒得考虑明明对于带的食物该怎么搭配着吃，也认为每种食物都是以 个 为单位（反正是幻想嘛），只要总数加起来是 \(N\) 就算一种方案。因此，对于给出的 \(N\)，你需要计算出方案数，并对 \(10007\) 取模。

输入

输入一个数字 \(N, 1 \leq n \leq 10^{500}\)

输出

如题

输入样例

5

输出样例

35

题解

生成函数入门题

推导

  1. 承德汉堡 \(f_1\)

    承德汉堡：偶数个

    即为数列 \(\langle 0, 2, 4, 6, \cdots \rangle\) 的生成函数

    \[ f_1(x) = \sum_{n \geq 0} x^{2n} \]

    求出其封闭形式

    \[ \begin{align} f_1(x) \cdot x^2 + x^0 &= \sum_{n \geq 0} x^{2(n + 1)} + x^0 \\ &= \sum_{n \geq 1} x^{2n} + x^0 \\ &= f_1(x) \end{align} \]

    \[ \therefore f_1(x) \cdot (x^2 - 1) = -1 \\ \therefore f_1(x) = \frac{1}{1 - x^2} \]

  2. 可乐 \(f_2\)

    可乐：0个或1个

    即为数列 \(\langle 0, 1 \rangle\) 的生成函数

    \[ f_2(x) = \sum_{n \in \{0, 1\}} x^n \]

    其封闭形式为

    \[ f_2(x) = x^0 + x^1 = 1 + x \]

  3. 鸡腿 \(f_3\)

    鸡腿：0个，1个或2个

    同 2.可乐 理

    即为数列 \(\langle 0, 1, 2 \rangle\) 的生成函数

    \[ f_3(x) = 1 + x + x^2 \]

  4. 蜜桃多 \(f_4\)

    蜜桃多：奇数个

    即为数列 \(\langle 1, 3, 5, 7 \cdots \rangle\) 的生成函数

    \[ f_4(x) = \sum_{n \geq 0} x^{2n + 1} \]

    求出其封闭形式

    \[ \begin{align} f_4(x) \cdot x^2 + x &= \sum_{n \geq 0} x^{2(n + 1) + 1} + x \\ &= \sum_{n \geq 1} x^{2n + 1} + x \\ &= f_4(x) \end{align} \]

    \[ \therefore f_4(x) \cdot (x^2 - 1) = -x \\ \therefore f_4(x) = \frac{x}{1 - x^2} \]

  5. 鸡块 \(f_5\)

    鸡块：4的倍数个

    即为数列 \(\langle 0, 4, 8, 12, \cdots \rangle\) 的生成函数

    \[f_5(x) = \sum_{n \geq 0} x^{4n} \]

    求出其封闭形式

    \[ \begin{align} f_5(x) \cdot x^4 + x^0 &= \sum_{n \geq 0} x^{4(n + 1)} + x^0 \\ &= \sum_{n \geq 1} x^{4n} + x^0 \\ &= f_5(x) \end{align} \]

    \[ \therefore f_5(x) \cdot (x^4 - 1) = -1 \\ \therefore f_5(x) = \frac{1}{1 - x^4} \]

  6. 包子 \(f_6\)

    包子：0个，1个，2个或3个

    同 2.可乐 理

    即为数列 \(\langle 0, 1, 2, 3 \rangle\) 的生成函数

    \[ f_6(x) = 1 + x + x^2 + x^3\\ \]

    因式分解，得

    \[ f_6(x) = (1 + x)(1 + x^2) \]

  7. 土豆片炒肉 \(f_7\)

    土豆片炒肉：不超过一个。

    同 2.可乐

    \[ f_7(x) = f_2(x) = 1 + x \]

  8. 面包 \(f_8\)

    面包：3的倍数个

    \[ f_8(x) = \sum_{n \geq 0} x^{3n} \]

    求其封闭形式

    \[\begin{align} f_8(x) \cdot x^3 + x^0 &= \sum_{n \geq 0} x^{3(n + 1)} + x^0 \\ &= \sum_{n \geq 1} x^{3n} + x^0 \\ &= f_8(x) \end{align} \]

    \[ \therefore f_8(x) \cdot (x^3 - 1) = -1 \\ \therefore f_8(x) = \frac{1}{1 - x^3} \]

综上

\( f_1(x) = \frac{1}{1 - x^2} \\ f_2(x) = 1 + x \\ f_3(x) = 1 + x + x^2 \\ f_4(x) = \frac{x}{1 - x^2} \\ f_5(x) = \frac{1}{1 - x^4} \\ f_6(x) = (1 + x)(1 + x^2) \\ f_7(x) = 1 + x \\ f_8(x) = \frac{1}{1 - x^3} \\ \)

乘积为

\[ \prod_{i=1}^8 f_i(x) = \frac{1}{1 - x^2} \cdot (1 + x) \cdot (1 + x + x^2) \cdot \frac{x}{1 - x^2} \cdot \frac{1}{1 - x^4} \cdot (1 + x)(1 + x^2) \cdot (1 + x) \cdot \frac{1}{1 - x^3} \]

展开，得

\[ \prod_{i=1}^8 f_i(x) = \frac{1}{(1 + x)(1 - x)} \cdot (1 + x) \cdot (1 + x + x^2) \cdot \frac{x}{(1 + x)(1 - x)} \cdot \frac{1}{(1 + x^2)(1 + x)(1 - x)} \cdot (1 + x)(1 + x^2) \cdot (1 + x) \cdot \frac{1}{(1 - x)(1 + x + x^2)} \]

化简，得

\[ \prod_{i=1}^8 f_i(x) = \frac{x}{(1 - x)^4}\\ = x(1 - x)^{-4} \]

由二项式定理

\[ (x + y)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \]

得：

\[ x(1 - x)^{-4} = x \sum_{i \geq 0} \binom{-4}{i}(-x)^i \]

第 \(n\) 项对应 \(i = n - 1\)，其系数即为：

\[ \binom{-4}{n - 1} (-1)^{n - 1} \]

反转上指标[1]

\[ \binom{a}{b} = (-1)^b \binom{b - a - 1}{b} \ (a < 0) \]

\[ \therefore \binom{-4}{n - 1} (-1)^{n - 1} = \binom{n + 2}{n - 1} = \binom{n + 2}{3} = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6} \]

即方案数为

\[ \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6} \]

细节

  1. 由于输入的 \(n\) 范围为 \(10^{500}\) 需要在输入时取模

    \[ \because \overline{n_1 n_2 n_3 \cdots n_{f - 1} n_f} = 10 \overline{n_1 n_2 n_3 \cdots n_{f - 1}} + n_f\\ \therefore \overline{n_1 n_2 n_3 \cdots n_{f - 1} n_f} = 10(10(\cdots (10n_1 + n_2) \cdots) + n_{f - 1}) + n_f \\ \therefore \overline{n_1 n_2 n_3 \cdots n_{f - 1} n_f} \equiv (10((10((\cdots (10n_1 + n_2)\ mod\ M \cdots)\ mod\ M) + n_{f - 1})\ mod\ M) + n_f)\ mod\ M (mod\ M) \]

    伪代码

    /*
    输入的数为 n
    n 的各位为 n[1 ... f]
    ans = n % MOD
*/

Function Read()
    for i <- 1 to f do
        ans <- (ans * 10 + n[i]) % MOD
    end

    Return ans

  2. 要求 \(\frac{n(n + 1)(n + 2)\ mod\ M}{6}\) 需要用到费马小定理求出乘法逆元

    \[ \frac{n(n + 1)(n + 2)\ mod\ M}{6} = (n(n + 1)(n + 2)\ mod\ M) \cdot (6^{M - 2}\ mod\ M) \]

    这里可以选择写带取模快速幂，也可以直接算出 \(6^{M - 2}\ mod\ M\)

    当 \(M = 10007\) 时：

    \[ 6^{M - 2}\ mod\ M = 1668 \]

代码

C++

#include <iostream>
#include <cstdio>

const int MOD = 10007;

inline int read()
{
    char ch;
    int res = 0;

    ch = std::getchar();
    while (ch >= '0' and ch <= '9')
    {
        res = (res * 10 + ch - '0') % MOD;
        ch = std::getchar();
    }

    return res;
}

int main()
{
    int n;
    n = read();

    std::cout << ((n * (n + 1) % MOD) * (n + 2) % MOD) * 1668 % MOD;
    return 0;
}

Python3

MOD = 10007

n = int(input())
print(n * (n + 1) * (n + 2) * 1668 % MOD)

参考

BZOJ3028 食物

[BZOJ3028] [生成函数] 食物

[百度百科] 二项式定理

本题数据

  1. [知乎] 当组合里出现负数怎么运算？ ↩︎

posted @ 2021-01-15 09:29  ZTL-UwU  阅读(287)  评论(0)  编辑  收藏  举报