bzoj 3561

题意:求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}lcm(i,j)^{gcd(i,j)}$

神仙题...

首先可能会想到一个转化,就是$lcm(i,j)=\frac{ij}{gcd(i,j)}$

然后大力往下推式子,发现你推不下去了...

因为$d$在分母上!!!

然后我们考虑换一种推法:如果我们对$ij$同时除掉$gcd(i,j)$,这样的话问题就可以转化成这个样子:

$\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}[gcd(i,j)\equiv 1](ijd)^{d}$

然后把$d$拿出来,维护一下后面那坨,有:

$\sum_{d=1}^{n}d^{d}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}\sum_{t|gcd(i,j)}\mu(t)(ij)^{d}$

改变一下枚举顺序,得到:

$\sum_{d=1}^{n}d^{d}\sum_{t=1}^{\frac{n}{d}}\mu(t)\sum_{i=1}^{\frac{n}{dt}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{dt}}(ijt^{2})^{d}$

(也就是在后面的$ij$乘积这一项中单独考虑$t$的贡献)

然后再整理,就得到:

$\sum_{d=1}^{n}d^{d}\sum_{t=1}^{\frac{n}{d}}\mu(t)t^{2d}\sum_{i=1}^{\frac{n}{dt}}i^{d}\sum_{j=1}^{\frac{m}{dt}}j^{d}$

然后我们就暴力计算即可,每次计算时都要先预处理出$[1,\frac{n}{d}]$的$i^{d}$的前缀和,再暴力查询即可,时间复杂度为调和级数$O(nlnn)$

注意每次求幂可以递推,不要快速幂!!!会退化成$O(nlog_{2}^{2}n)$!

代码:

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mode=1000000007;
int pri[5000005],mu[5000005],used[5000005];
ll S[5000005],mi[5000005];
int cnt=0;
ll pow_mul(ll x,ll y)
{
    ll ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=ret*x%mode;
        x=x*x%mode,y>>=1;
    }
    return ret;
}
void init()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=5000000;i++)
    {
        if(!used[i])pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=5000000;j++)
        {
            used[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){mu[i*pri[j]]=0;break;}
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    ll n,m;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    if(n>m)swap(n,m);
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)mi[i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ll s=pow_mul(i,i);
        S[0]=0;
        for(int j=1;j<=m/i;j++)mi[j]=mi[j]*j%mode,S[j]=(S[j-1]+mi[j])%mode;
        ll tempc=0;
        for(int j=1;j<=n/i;j++)
        {
            ll temps=(mu[j]*mi[j]*mi[j]%mode+mode)%mode;
            tempc=(tempc+temps*S[n/i/j]%mode*S[m/i/j]%mode)%mode;
        }
        ans=(ans+s*tempc)%mode;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

 

posted @ 2019-07-08 14:37  lleozhang  Views(50)  Comments(0Edit  收藏
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