多项式问题之一——多项式求逆

问题：

已知一个次数为$n-1$的多项式$F(x)$，求一个多项式$G(x)$使得$F(x)*G(x)\equiv 1$($mod x^{n}$)，所有运算在模998244353意义下进行

怎么搞？

先进行一点分析：

如果$F(x)$只有一项，那么$G(x)$里也只有一项，就是$F(x)$里那项的逆元

那么如果我们已知一个多项式$H(x)$满足$F(x)*H(x)\equiv 1$($mod$ $x^{\frac{n}{2}}$)

很显然，根据要求，同时有：$F(x)*G(x)\equiv 1$($mod$ $x^{\frac{n}{2}}$)

下式减上式，得到：

$F(x)(G(x)-H(x))\equiv 0$($mod$ $x^{\frac{n}{2}}$)

 于是有

$G(x)-H(x)\equiv 0$($mod$ $x^{\frac{n}{2}}$)

两边平方，可以得到：

$(G(x)-H(x))^{2}\equiv 0$ ($mod$ $x^{n}$)

展开，得：

$G(x)^{2}+H(x)^{2}-2G(x)H(x)\equiv 0$($mod$ $x^{n}$)

两边乘一个$F(x)$，有：

$F(x)G(x)^{2}+F(x)H(x)^{2}-2F(x)G(x)H(x)\equiv 0$($mod$ $x^{n}$)

根据要求，$F(x)G(x)\equiv 1$($mod$ $x^{n}$)

于是上式可以化简成：

$G(x)+F(x)H(x)^{2}-2H(x)\equiv 0$($mod$ $x^{n}$)

移项，得到：

$G(x)\equiv 2H(x)-F(x)H(x)^{2}$ ($mod$ $x^{n}$)

这样就可以倍增求解了

代码：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mode=998244353;
ll f[100005];
int to[(1<<20)+5];
struct node
{
    ll g[100005];
    int len;
}now,las;
int n;
int lim=1,l=0;
ll pow_mul(ll x,ll y)
{
    ll ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=ret*x%mode;
        x=x*x%mode,y>>=1;
    }
    return ret;
}
void NTT(ll *a,int len,int k)
{
    ll inv=pow_mul(len,mode-2);
    for(int i=0;i<len;i++)if(i<to[i])swap(a[i],a[to[i]]);
    for(int i=1;i<len;i<<=1)
    {
        ll w0=pow_mul(3,(mode-1)/(i<<1));
        for(int j=0;j<len;j+=(i<<1))
        {
            ll w=1;
            for(int o=0;o<i;o++,w=w*w0%mode)
            {
                ll w1=a[j+o],w2=a[j+o+i]*w%mode;
                a[j+o]=(w1+w2)%mode,a[j+o+i]=((w1-w2)%mode+mode)%mode;
            }
        }
    }
    if(k==-1)
    {
        for(int i=1;i<(len>>1);i++)swap(a[i],a[len-i]);
        for(int i=0;i<len;i++)a[i]=a[i]*inv%mode;
    }
}
ll a[(1<<20)+5],b[(1<<20)+5],c[(1<<20)+5];
void solve(int dep)
{
    if(dep==1)
    {
        now.g[0]=pow_mul(f[0],mode-2);
        now.len=1;
        las=now;
        return;
    }
    int nxt=(dep+1)/2;
    solve(nxt);
    lim=1,l=0;
    while(lim<=2*dep)lim<<=1,l++;
    for(int i=1;i<lim;i++)to[i]=((to[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)));
    for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=b[i]=0;
    for(int i=0;i<dep;i++)a[i]=f[i];
    for(int i=0;i<nxt;i++)b[i]=las.g[i];
    NTT(a,lim,1),NTT(b,lim,1);
    for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=a[i]*b[i]%mode*b[i]%mode;
    NTT(c,lim,-1);
    now.len=dep;
    for(int i=0;i<dep;i++)now.g[i]=((2*las.g[i]-c[i])%mode+mode)%mode;
    las=now;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&f[i]);
    solve(n);
    for(int i=0;i<n;i++)printf("%lld ",now.g[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}