bzoj 4031

矩阵树定理裸题

首先介绍一下矩阵树定理：

矩阵树定理是用来解决一个图上生成树个数的问题，可以分为无向图矩阵树定理和有向图矩阵树定理，而本题应用的是无向图矩阵树定理

那么首先提出几个概念：

一.邻接矩阵：

这个应该都知道...

就是这样一个矩阵：第$u$行第$v$列的元素为1的条件是当且仅当$(u,v)\in E$，其中$E$为边集，我们记这个矩阵为$A$

二.度数矩阵：

一个图的度数矩阵仅有第$i$行第$i$列有值，且这个值是点$i$的入边数量（如果是无向图，那么就是这个点周围所有边的数量），我们记这个矩阵为$D$

三.基尔霍夫矩阵：

一个特殊的矩阵，我们记这个矩阵为$C$，则有$C=D-A$（是的！这里出现了矩阵减法！）

那么矩阵树定理的内容如下：

一个图的生成树个数，等于它的基尔霍夫矩阵去掉某一行一列（行列编号相同）后对应行列式的值的绝对值

（这里有一个引申定理：Cayley定理：一个n个节点的生成树个数=$n^{n-2}$，但是与本题无关）

（我并不想证明这两个东西）

那么有了矩阵树定理，本题就变得异常简单了：相邻两点之间建边（注意不要建重，同时去掉不能用的点），然后矩阵树定理裸上即可

但是还需要讨论几个问题：

第一：行列式怎么求值？

（讲道理，这是线性代数中的内容...但是还是应该提一下）

首先，行列式可以按某一行或某一列进行展开然后求值，但这样求的时间复杂度过高，无法承受

所以我们用这种方法：

我们假设原来的行列式长这样：

（由于是由邻接矩阵和度数矩阵生成的，所以肯定是个方阵）

那么，根据行列式运算规则，我们可以采取类似高斯消元的方法整理这个行列式，将这个行列式整理成一个“上三角”形式（要注意，交换行列式两行时行列式值要取相反数）

那么，我们整理一下，就可以得到新的行列式长这样：

那么，这个行列式的值就是$\prod_{i=1}^{n}a_{ii}^{'}$（注意符号！）

这就是本题的生成树个数

 第二：怎么取模？

可能你会觉得没有什么，正常取模就可以

但是请注意，本题的模数并不是质数！！！

因此，在进行类似高斯消元的方法时，我们是无法直接求逆元的

那么我们采用类似辗转相除的方法，不断交换两行即可

最后贴代码：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mode=1000000000;
char ch[15][15];
ll a[90][90];
ll d[90][90];
ll c[90][90];
int idx[15][15];
int n,m,tot;
bool check(int x,int y)
{
    return (x>=1)&&(x<=n)&&(y>=1)&&(y<=m)&&(ch[x][y]=='.');
}
ll Gauss()
{
    ll ans=1,f=1;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
        for(int j=i+1;j<=tot;j++)
        {
            ll A=c[i][i],B=c[j][i];
            while(B)
            {
                ll t=A/B;
                A%=B,swap(A,B);
                for(int k=i;k<=tot;k++)c[i][k]=(c[i][k]-t*c[j][k]%mode+mode)%mode;
                for(int k=i;k<=tot;k++)swap(c[i][k],c[j][k]);
                f=-f;
            }
        }
        if(!c[i][i])return 0;
        ans=ans*c[i][i]%mode;
    }
    return (mode+f*ans)%mode;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",ch[i]+1);
        for(int j=1;j<=m;j++)if(ch[i][j]=='.')idx[i][j]=++tot;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(check(i,j))
            {
                if(check(i+1,j))d[idx[i][j]][idx[i][j]]++,d[idx[i+1][j]][idx[i+1][j]]++,a[idx[i][j]][idx[i+1][j]]=a[idx[i+1][j]][idx[i][j]]=1;
                if(check(i,j+1))d[idx[i][j]][idx[i][j]]++,d[idx[i][j+1]][idx[i][j+1]]++,a[idx[i][j]][idx[i][j+1]]=a[idx[i][j+1]][idx[i][j]]=1;
            }
        }
    }
    tot--;
    for(int i=1;i<=tot;i++)for(int j=1;j<=tot;j++)c[i][j]=((d[i][j]-a[i][j])+mode)%mode;
    printf("%lld\n",Gauss());
    return 0;
}