100个0.1相加等于多少？

一、前言

　　在大家的认知过程中可能会认为计算机是不会出现计算错误的，但是实际上，依然存在程序运行后无法得到正确数值的情况。其中，最经典的就是小数运算。（做金融的一定要小心！！！）

二、引入

　　在我们的世界里面，100个0.1相加就是10，这个是没有疑问的。但是当我们用C语言如下的程序来计算的时候，结果并非是10（不同语言计算的结果可能不同，这里主要说C）。

　　首先是一段计算代码：

#include <stdio.h>

int main(void) { 
      float sum;
        int i;
        sum = 0;
        for (i=0 ;i<100;i++) {
            sum += 0.1;
        }
        printf("%f\n",sum);
}

运行结果如下：

10.000002

计算机通过编译、链接、运行得到的结果是10.000002。程序没有错。现在让我们来看一下具体原因吧。

三、计算机计算结果不正确的原因

　　简单来说，就是无法表示正确的数值，导致计算出来的结果成了近似值。下面进一步剖析一下。

　　首先，我们来看一下在计算机世界里面如何用二进制数表示小数：

　　例如把1011.0011这个小数点的二进制数转成十进制数。（只需将各数位数值和位权相乘，然后将相乘的结果相加）

　　也就是：1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0+0*2^(-1)+0*2^(-2)+1*2^(-3)+1*2^(-4) = 11.1875。

　　了解了二进制表示的小数转十进制的方法后，计算出错的原因也就容易理解了。用小数点后4位用二进制表示时的数值范围为：0.0000~0.1111。因此，对应的十进制结果如下：

从上面的对照表可以看出，0的下一位就是0.625。因此0~0.0625之间的数值计算机无法用小数点后4位数的二进制数表示。因此可以看出0.1无法用4位二进制数表示。就算增加二进制的位数，也无法得到2^(-x) =0.1 这个结果。

　　实际上，十进制0.1转成二进制后，就变成了0.0001100110011……（1100循环）这样的循环小数。就像1/3是一个道理。因此100各0.1相加不等于10，而是等于近似值。

---------------------------------------------以上就能够回答标题的原因了---------------------------------------------

四、What is 浮点数？

　　其实像刚才那样的1011.0011这种表现形式完全是纸面上的二进制数表现形式，在计算机内部是无法使用的（计算机内部只是0101001……没有"."这个概念）。实际上，编程语言提供了双精度浮点数（double）和单精度浮点数(float)。双精度浮点数类型用64位、单精度浮点数用32位来表示全体小数。

　　浮点数：就是用符号、尾数、基数和指数表示的小数。

　　

其中：±表示符号，m表示尾数，n表示基数，e表示指数。实际数据中不考虑基数。因此：

其中：

1、符号部分：1表示负、0表示正或者0。

2、尾数部分用的是：将小数点前面的值固定位1的正则表达式。

3、指数部分：用的是EXCESS系统表现。

　　

　　先看看尾数部分。对于十进制的0.75。我们有如下的表示方法：

　　①、0.75 = 0.75*10^0

　　②、0.75 = 75*10^(-2)

　　③、0.75 = 0.075*10^1

　　十进制的表示正则为：小数点前面是0，小数点后面第一位不是0的规则表示。而对于二进制也是一样的道理，使用的是：将小数点前面的值固定为1的正则。也就是将二进制数表示的小数左移或右移（逻辑移位）数次后，整数部分的第一位变成1，第二位之后变成0.而且第1位的1在实际数据中不保存。

　　例如1011.0011：

　　移位变成0001.0110011，确保小数点后23位：0001.01100110000000000000000，仅保留小数点后面完成正则：01100110000000000000000。

　　再看看指数部分。EXCESS系统表现：将指数部分表示范围的中间值设置为0，使得负数不需要用符号来表示。例如当指数部分是8为单精度浮点时，最大值11111111=225的1/2即01111111=127表示0。双精度类似。

　　因此对于单精度浮点数的表现，其表示范围就是：00000000~11111111也就是-127~128。看下面例子:

#include <stdio.h>
#include <string.h>
int main(int argc, char *argv[]) {
    float data;
    unsigned long buff;
    int i;
    char n[34];
    //将0.75以单精度浮点数形式存储在data中
    data = (float)0.75;

    memcpy(&buff,&data,4);
    for (i=33;i>=0;i--) {
        if(i==1 || i==10) {
            n[i] = '-';
        }else {
            if(buff%2==1) {
                n[i] = '1';
            }else {
                n[i]='0';
            }
            buff/=2;
        }
        
    }
    n[33] = '\0';
    printf("%s\n",n);

}

运行结果：

0-01111110-10000000000000000000000

其中01111110是126，EXCESS表示为-1。

小数点前面的第一位是1。因此尾数就是：1.10000000000000000000000也就是1.5。

也就是+1.5*2^(-1) = 0.75。

五、如何避免小数计算出错导致的问题

　　可以将小数替换成整数来计算。然后在缩小相应的倍数。

 

注：

　　1、如果有什么Bug或者说的不对的地方，欢迎大家随时提建议或者意见。