扫描线学习笔记
感觉这个东西有点抽象啊，三道题下来也不是很懂的样子
前置知识
线段树(or树状数组)，离散化
解决目标
矩形面积并，矩形周长并，二位数点覆盖等
矩形面积并
先看例题 矩形面积比
大意：给定n个矩形，求这n个矩形的并集覆盖的总面积
由于坐标值域一般极大，我们要考虑一种快速求面积交的方法，容易发现对于一个矩形并集的图像，我们可以将其分成若干个小矩形，对于每个小矩形，我们只需要知道他的长和宽就可以快速求出它的面积；
借用OIWIKI的图，我们记录每个初始矩形的上下两条边，以及其左右边界。从下往上扫描，若本次扫到下边界，就将其覆盖的左右区间内全部+1，反之则-1；
当然因为值域巨大，所以我们要先把左右边界离散化处理；因为两个相邻的左右边界内的操作是统一进行的，所以每两个相邻左右边界中的区间放到线段树上就是单位1的长度，这里为了方便存储，对于每条线段，我们都将它的右边界-1以方便操作
最终我们从下往上扫描每条线段并进行区间修改，统计时，只需要统计整棵线段树内值不为0的区间总长度（注意这里不是节点个数了，是放到图像上的实际区间长度）乘上距离上一个线段的纵向距离，就是本次的答案，最后累加即可；
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN=2e5+10;
struct node{
int x,l,r;
int tag;
}line[MAXN<<1];
int n,tot,b[MAXN<<1],cnt,tr_b[MAXN<<1];
map<int,int> mp;
bool cmp(node a,node b){
return (a.x!=b.x?a.x<b.x:a.tag>b.tag);
}
struct tree{
int sum,l,r,tag;
}tr[MAXN<<4];
#define ls id<<1
#define rs id<<1|1
void build(int id,int l,int r){
tr[id].l=l,tr[id].r=r;
tr[id].sum=tr[id].tag=0;
if(l==r) return ;
int mid=l+r>>1;
build(ls,l,mid);
build(rs,mid+1,r);
return ;
}
void pushup(int id){
if(!tr[id].tag){
tr[id].sum=tr[ls].sum+tr[rs].sum;
return ;
}
tr[id].sum=tr_b[tr[id].r+1]-tr_b[tr[id].l];
return ;
}
void add(int id,int l,int r,int val){
if(tr[id].l>r||tr[id].r<l) return ;
if(tr[id].l>=l&&tr[id].r<=r){
tr[id].tag+=val;
if(tr[id].tag) tr[id].sum=tr_b[tr[id].r+1]-tr_b[tr[id].l];
else pushup(id);
return ;
}
add(ls,l,r,val);
add(rs,l,r,val);
pushup(id);
return ;
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cin>>n;
for(int i=1,xf,yf,xs,ys;i<=n;i++){
cin>>xf>>yf>>xs>>ys;
line[++tot].x=xf;
line[tot].l=yf,line[tot].r=ys;
line[tot].tag=1;
line[++tot].x=xs;
line[tot].l=yf,line[tot].r=ys;
line[tot].tag=-1;
}
n=tot,tot=0;
for(int i=1;i<=n;i+=2){
b[++tot]=line[i].l;
b[++tot]=line[i].r;
}
sort(b+1,b+tot+1);
for(int i=1;i<=tot;i++){
if(!mp[b[i]]){
mp[b[i]]=++cnt;
tr_b[cnt]=b[i];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
line[i].l=mp[line[i].l];
line[i].r=mp[line[i].r];
}
sort(line+1,line+n+1,cmp);
int ans=0;
build(1,1,n);
for(int i=1;i<=n;i++){
// cout<<tr[1].sum<<" "<<line[i].x<<" "<<line[i-1].x<<"\n";
if(i!=1) ans+=tr[1].sum*(line[i].x-line[i-1].x);
// cout<<line[i].l<<" "<<line[i].r<<" "<<line[i].tag<<"\n";
add(1,line[i].l,line[i].r-1,line[i].tag);
}
cout<<ans;
return 0;
}
矩阵周长并
例题：矩形周长并
相对于面积并，这道题可能还要简单一点。容易发现对于两条相邻的线段，增加的周长长度就是其差的绝对值，只需要横着扫一遍，竖着再扫一遍即可；
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN=5e3+10,INF=1e4;
int n,trn,tot,b[MAXN<<2],tr_b[MAXN<<2],cnt;
int ans,lst_sum;
struct ng{
int xf,yf,xs,ys;
}init[MAXN];
struct node{
int x,tag,l,r;
}line[MAXN<<2];
bool cmp(node a,node b){
return (a.x!=b.x?a.x<b.x:a.tag>b.tag);
}
map<int,int> mp;
struct tree{
int l,r,sum,tag;//tag用来记录这段区间有没有被整体覆盖，如果被整体覆盖过直接求sum即可，否则从左右儿子获得信息
}tr[MAXN<<4];
#define ls id<<1
#define rs id<<1|1
void build(int id,int l,int r){
tr[id].l=l,tr[id].r=r;
tr[id].sum=tr[id].tag=0;
if(l==r) return ;
int mid=l+r>>1;
build(ls,l,mid);
build(rs,mid+1,r);
return ;
}
void pushup(int id){
if(!tr[id].tag){
tr[id].sum=tr[ls].sum+tr[rs].sum;
return ;
}
tr[id].sum=tr_b[tr[id].r+1]-tr_b[tr[id].l];
return ;
}
void add(int id,int l,int r,int val){
if(tr[id].l>r||tr[id].r<l) return ;
if(l<=tr[id].l&&tr[id].r<=r){
tr[id].tag+=val;
if(tr[id].tag) tr[id].sum=tr_b[tr[id].r+1]-tr_b[tr[id].l];
else pushup(id);
return ;
}
// int mid=tr[id].l+tr[id].r>>1;
add(ls,l,r,val);
add(rs,l,r,val);
pushup(id);
return ;
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cin>>n;trn=n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>init[i].xf>>init[i].yf>>init[i].xs>>init[i].ys;
init[i].xf+=INF,init[i].xs+=INF,init[i].yf+=INF,init[i].ys+=INF;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
line[++tot].x=init[i].xf;
line[tot].l=init[i].yf,line[tot].r=init[i].ys;
line[tot].tag=1;
line[++tot].x=init[i].xs;
line[tot].l=init[i].yf,line[tot].r=init[i].ys;
line[tot].tag=-1;
}
n=tot,tot=0;
for(int i=1;i<=n;i+=2){
b[++tot]=line[i].l;
b[++tot]=line[i].r;
}
sort(b+1,b+tot+1);
for(int i=1;i<=tot;i++){
if(!mp[b[i]]){
mp[b[i]]=++cnt;
tr_b[cnt]=b[i];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
line[i].l=mp[line[i].l];
line[i].r=mp[line[i].r];
}
sort(line+1,line+n+1,cmp);
build(1,1,n);
for(int i=1;i<=n;i++){
// cout<<line[i].l<<" "<<line[i].r<<" ";
add(1,line[i].l,line[i].r-1,line[i].tag);
// cout<<lst_sum<<" "<<tr[1].sum<<"\n";
ans+=abs(tr[1].sum-lst_sum);
lst_sum=tr[1].sum;
}
tot=0,n=trn,cnt=0;
mp.clear();
for(int i=1;i<=n;i++){
line[++tot].x=init[i].yf;
line[tot].l=init[i].xf,line[tot].r=init[i].xs;
line[tot].tag=1;
line[++tot].x=init[i].ys;
line[tot].l=init[i].xf,line[tot].r=init[i].xs;
line[tot].tag=-1;
}
n=tot,tot=0;
for(int i=1;i<=n;i+=2){
b[++tot]=line[i].l;
b[++tot]=line[i].r;
}
sort(b+1,b+tot+1);
for(int i=1;i<=tot;i++){
if(!mp[b[i]]){
mp[b[i]]=++cnt;
tr_b[cnt]=b[i];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
line[i].l=mp[line[i].l];
line[i].r=mp[line[i].r];
}
sort(line+1,line+n+1,cmp);
build(1,1,n);
for(int i=1;i<=n;i++){
// cout<<line[i].l<<" "<<line[i].r<<" ";
add(1,line[i].l,line[i].r-1,line[i].tag);
// cout<<lst_sum<<" "<<tr[1].sum<<"\n";
ans+=abs(tr[1].sum-lst_sum);
lst_sum=tr[1].sum;
}
cout<<ans;
return 0;
}
其实选定一个方向后，每次更新答案时同时加上两条高的贡献可以单次扫描解决这道题，但主播太懒了不想写（不想动脑
二维数点覆盖
例题：窗口的星星
我们发现对于二维平面内的散点并不好计算，但是我们可以把每个点扩充成一个w*h的矩形（因为题目中说了边界不算，所以实际要给坐标-1），对于这个抽象矩形内的所有点附上权值；
我们容易发现，只要两个点扩充的矩形有交，就代表可以用一个窗口将两个点同时框住；
那么事情就非常好办了，我们仍然采用传统扫描线的方法，在每次区间修改后找出整棵线段树上的最大值，也就是相交矩形权值和最大的部分，求max即可；
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN=1e6+10;
int T,n,w,h,cnt,b[MAXN<<1],tr_b[MAXN<<1],tot;
map<int,int> mp;
struct node{
int x,y,l;
}e[MAXN];
struct le{
int x,l,r,vl;
}line[MAXN<<1];
bool cmp(le x,le y){
return (x.x!=y.x?x.x<y.x:x.vl>y.vl);
}
struct tree{
int l,r,maxn,tag;
}tr[MAXN<<2];
#define ls id<<1
#define rs id<<1|1
void build(int id,int l,int r){
tr[id].l=l,tr[id].r=r,tr[id].maxn=tr[id].tag=0;
if(l==r) return ;
int mid=l+r>>1;
build(ls,l,mid);
build(rs,mid+1,r);
return ;
}
void pushup(int id){
tr[id].maxn=max(tr[ls].maxn,tr[rs].maxn);
return ;
}
void pushdown(int id){
if(tr[id].tag){
tr[ls].maxn+=tr[id].tag;
tr[rs].maxn+=tr[id].tag;
tr[ls].tag+=tr[id].tag;
tr[rs].tag+=tr[id].tag;
tr[id].tag=0;
}
return ;
}
void add(int id,int l,int r,int val){
if(tr[id].l>r||tr[id].r<l) return ;
if(l<=tr[id].l&&tr[id].r<=r){
tr[id].maxn+=val;
tr[id].tag+=val;
return ;
}
pushdown(id);
int mid=tr[id].l+tr[id].r>>1;
if(l<=mid) add(ls,l,r,val);
if(r>mid) add(rs,l,r,val);
pushup(id);
return ;
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cin>>T;
while(T--){
cin>>n>>w>>h;
if(w==1||h==1){
cout<<"0\n";
}
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>e[i].x>>e[i].y>>e[i].l;
++cnt;
line[cnt].x=e[i].x;
line[cnt].l=e[i].y,line[cnt].r=e[i].y+h-1;
line[cnt].vl=e[i].l;
++cnt;
line[cnt].x=e[i].x+w-1;
line[cnt].l=e[i].y,line[cnt].r=e[i].y+h-1;
line[cnt].vl=-1*e[i].l;
}
n=cnt,cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i+=2){
b[++cnt]=line[i].l;
b[++cnt]=line[i].r;
}
sort(b+1,b+n+1);
for(int i=1;i<=cnt;i++){
if(!mp[b[i]]){
mp[b[i]]=++tot;
tr_b[tot]=b[i];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
line[i].l=mp[line[i].l];
line[i].r=mp[line[i].r];
}
sort(line+1,line+n+1,cmp);
build(1,1,tot);
long long ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
add(1,line[i].l,line[i].r,line[i].vl);
ans=max(ans,tr[1].maxn);
}
cout<<ans<<"\n";
mp.clear();
cnt=tot=0;
}
return 0;
}
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