关联规则(apriori algorithm)(1)
关联规则的目的在于在一个数据集中找出项之间的关系，也称之为购物蓝分析 (market basket analysis)。例如，购买鞋的顾客，有10%的可能也会买袜子，60%的买面包的顾客，也会买牛奶。这其中最有名的例子就是"尿布和啤酒"的故事了。
关联规则的应用场合。在商业销售上，关联规则可用于交叉销售，以得到更大的收入；在保险业务方面，如果出现了不常见的索赔要求组合，则可能为欺诈，需要作进一步的调查。在医疗方面，可找出可能的治疗组合；在银行方面，对顾客进行分析，可以推荐感兴趣的服务等等。
Apriori algorithm是关联规则里一项基本算法。由Rakesh Agrawal 在 1994 年提出的，详细的介绍请猛击这里《Fast Algorithms for Mining Association Rules》。
首先我们来看，什么是规则？规则形如"如果…那么…(If…Then…)",前者为条件，后者为结果。例如一个顾客，如果买了可乐，那么他也会购买果汁。
如何来度量一个规则是否够好？有两个量，置信度(Confidence)和支持度(Support)。假设有如下表的购买记录。
顾客 | 项目 |
1 | orange juice, coke |
2 | milk, orange juice, window cleaner |
3 | orange juice, detergent |
4 | orange juice, detergent, coke |
5 | window cleaner |
将上表整理一下，得到如下的一个2维表
| Orange | Win Cl | Milk | Coke | Detergent |
Orange | 4 | 1 | 1 | 2 | 2 |
WinCl | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 |
Milk | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Coke | 2 | 0 | 0 | 2 | 1 |
Detergent | 1 | 0 | 0 | 0 | 2 |
上表中横栏和纵栏的数字表示同时购买这两种商品的交易条数。如购买有Orange的交易数为4，而同时购买Orange和Coke的交易数为2。
置信度表示了这条规则有多大程度上值得可信。设条件的项的集合为A,结果的集合为B。置信度计算在A中，同时也含有B的概率。即Confidence(A==>B)=P(B|A)。例 如计算"如果Orange则Coke"的置信度。由于在含有Orange的4条交易中，仅有2条交易含有Coke.其置信度为0.5。
支持度计算在所有的交易集中，既有A又有B的概率。例如在5条记录中，既有Orange又有Coke的记录有2条。则此条规则的支持度为2/5=0.4。现在这条规则可表述为，如果一个顾客购买了Orange,则有50%的可能购买Coke。而这样的情况（即买了Orange会再买Coke）会有40%的可能发生。
再来考虑下述情况。
项 | 支持度 |
A | 0.45 |
B | 0.42 |
C | 0.4 |
A and B | 0.25 |
A and C | 0.2 |
B and C | 0.15 |
A,B，and C | 0.05 |
可得到下述规则
规则 | 置信度 |
If B and C then A | 0.05/0.15*100%=33.33% |
If A and C then B | 0.05/0.20*100%=25% |
If A and B then C | 0.05/0.25*100%=20% |
上述的三条规则，哪一条规则有用呢？
对于规则" If B and C then A"，同时购买B和C的人中，有33.33%会购买A。而单项A的支持度有0.45，也就是说在所有交易中，会有45%的人购买A.看来使用这条规则来进行推荐，还不如不推荐，随机对顾客进荐好了。
为此引入另外一个量，即提升度(Lift)，以度量此规则是否可用。描述的是相对于不用规则，使用规则可以提高多少。有用的规则的提升度大于1。计算方式为Lift(A==>B)=Confidence(A==>B)/Support(B)=Support(A==>B)/(Support(A)*Support(B))。在上例中，Lift(If B and C The A)=0.05/(0.15*0.45)=0.74。而Lift(If A then B)=0.25/(0.45*0.42)=1.32。也就是说对买了A的人进行推荐B,购买概率是随机推荐B的1.32倍。
如何产生规则呢。可以分两步走。
首先找出频繁集(frequent itemset)。所谓频繁集指满足最小支持度或置信度的集合。其次从频繁集中找出强规则(strong rules)。强规则指既满足最小支持度又满足最小置信度的规则。
我们来看如何产生频繁集。
这其中有一个定理。即频繁集的子集也一定是频繁集。比如，如果{A,B,C}是一个3项的频繁集，则其子集{A,B},{B,C},{A,C}也一定是2项的频繁集。为方便，可以把含有k项的集合称之为k-itemsets.
下面以迭代的方式 找出频繁集。首先找出1-itemsets的频繁集，然后使用这个1-itemsets，进行组合，找出2-itemsets的频繁集。如此下去，直到不再满足最小支持度或置信度的条件为止。这其中重要的两步骤分别是连接(join)和剪枝(prune).即从(k-1)-itemsets中的项进行组合，产生备选集(Candidate itemsets)。再从备选集中，将不符合最小支持度或置信度的项删去。例如
Frequent 2-itemsets | Candidate 3-itemsets | Frqquent 3-itemsets | ||
I1,I2 | ==> | I1,I2,I4 | ==> | I1,I2,I4 |
I1,I4 | I2,I3,I4 | |||
I2,I3 | ||||
I2,I4 |
下面我们再来看一个详细的例子。
设最小支持度为2，以Ck表示k-itemsets备选集,以Lk表示k-itemsets频繁集。
ID | Items | Itemset | Sup. count | Itemset | Itemset | |||
100 | I1,I2,I5 | I1 | 6 | I1 | I1,I2 | |||
200 | I2,I4 | ==>C1: | I2 | 7 | ==>L1: | I2 | ==>C2 | I1,I3 |
300 | I2,I3 | I3 | 6 | I3 | I1,I4 | |||
400 | I1,I2,I4 | I4 | 2 | I4 | I1,I5 | |||
500 | I1,I3 | I5 | 2 | I5 | I2,I3 | |||
600 | I2,I3 | I2,I4 | ||||||
700 | I1,I3 | I2,I5 | ||||||
800 | I1,I2,I3,I5 | I3,I4 | ||||||
900 | I1,I2,I3 | I3,I5 | ||||||
I4,I5 |
对C2进行扫描，计算支持度。
Itemset | Sup. count | Itemset | Itemset | Sup. count | Itemset | |||
I1,I2 | 4 | ==> L2: | I1,I2 | ==> C3 | I1,I2,I3 | 2 | ==> L3: | I1,I2,I3 |
I1,I3 | 4 | I1,I3 | I1,I2,I5 | 2 | I1,I2,I5 | |||
I1,I4 | 1 | I1,I5 | ||||||
I1,I5 | 2 | I2,I3 | ||||||
I2,I3 | 4 | I2,I4 | ||||||
I2,I4 | 2 | I2,I5 | ||||||
I2,I5 | 2 | |||||||
I3,I4 | 0 | |||||||
I3,I5 | 1 | |||||||
I4,I5 | 0 |
对于频繁集中的每一项k-itemset,可以产生非空子集，对每一个子集，可以得到满足最小置信度的规则了。例如考虑{I1,I2,I5}。其子集有{I1,I2}, {I1,I5}, {I2,I5}, {I1}, {I2}, {I5}。可以产生规则，{I1,I2} => {I5} (50%), {I1,I5} => {I2} (100%), {I2,I5} =>{I1} (100%),{I1} => {I2,I5} (33%), {I2} =>{I1,I5} (29%), {I5} =>{I1,I2} (100%)。
也不是每个数据集都有产生强规则。例如"Thinkpad notebook" 和"Canon printer"一起可能很难产生有效规则。因为恰好一起买这两个牌子的产品的顾客太少。但不妨将Thinkpad notebook放到Notebook这一层次上考虑，而Canon printer放到printer这一去层次上考虑。这样的话，一起买notebook和printer的顾客就较多了。也即Multilevel association rules。
