codeforce刷题

codeforce 1332D Walk on Matrix

题目: https://vjudge.net/problem/CodeForces-1332D

题解

切入点是找出题目所给算法的错误之处，也就是每一次取最优解，但结果可能不是最优解的情况。比如：

111  100    0
11   111   11

按照给出的算法，\(dp[2][2] = 100_{(2)} = 4\)，而\(dp[2][3] = 0_{(2)} = 0\)，也就是在\(dp\)过程中，每次都取了最高位为1作为当前最优解。实际上，选择 \(111 \rightarrow 11 \rightarrow 111 \rightarrow 11\), 得到\(maxAnd = 11_{(2)} = 3\)。
构造出这样的样例后，将\(11_{(2)}\)换成\(k\)的二进制，写出矩阵就行啦

const int MAXN = 200005;

int get(int x, int op) {
    int t = 0, tp = x;
    while(tp) {
        tp >>= 1;
        t++;
    }
    if (op == 0) {
        return (1 << t) + (~x & ((1 << t) - 1));
    }
    else {
        return (1 << t) + x;
    }
}

int main() {

    int k; cin >> k;

    int a[2][3] = {{get(k, 1), get(k, 0), 0}, {k, get(k, 1), k}};
    cout << "2 3" << endl;
    myfor(i, 0, 2) {
        myfor(j, 0, 3) printf("%d ", a[i][j]);
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

整麻烦了，看这位大佬的构造：https://blog.csdn.net/weixin_42431507/article/details/105236247?>

CodeForces 1329B Dreamoon Likes Sequences

给两个数\(d(1 <= d <= 10^9)\)和\(m(1 <= m <= 10^9)\)，问有多少种满足如下条件的\(a\)序列？方案数要模上\(m\)。

• \(a\)序列的长度为\(n\) \((1<= n <= d)\)
• \(1 <= a_1 < a_2 < ··· < a_n <= d\)
• 令\(b[i] = a_1 \bigoplus a_2 \bigoplus ··· \bigoplus a_i\)，\(b[1] = a_1\)。满足\(b[1] < b[2] < ··· < b[n]\)

题解

\(d\) 和 \(m\) 都超级大，又涉及异或运算，考虑从二进制入手。满足\(a\)的递增比较简单，重点是怎么确保\(b\)的递增。有 \(b[1] = a_1\)，\(b[2] = a_1 \bigoplus a_2\)，\(a_2 > a_1\)，那么\(b[2] > b[1]\)说明\(a_2\)的二进制长度大于\(a_1\)的二进制长度。以此递推，可以发现，\(a\)序列中元素的二进制长度是递增的，所以\(a\)的元素个数最多30个(\(2^{30} > 10^9\)).
将二进制长度相同的数划分为1组（比如4，5，6，7的二进制长度都是3，归为一组)，然后每组只能取一个数，求方案数。举例来说：\(d = 5\)，共有三组：\((1)\)，\((2, 3)\)，\((4, 5)\)。令\(ans_n :=\)表是长度为\(n\)且符合条件的\(a\)序列个数，根据组合数学的知识可得 \(ans_1 = 5\)，\(ans_2 = 1 * 2 + 1 * 2 + 2 * 2 = 8\)，\(ans_3 = 1 * 2 * 2 = 4\)。求得总的方案数: \(ans = ans_1 + ans_2 + ans_3 = 17\)。
最后，思考怎么\(code\)。硬搜肯定复杂度超了，令\(dp[i][j]:=\)前\(i\)个组选择\(j\)个数的方案数，有

\[ dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1] * cnt[i] \]

注意爆int啊

int bit_length(int x) {
    int t = 0;
    while(x) {t++, x >>= 1; }
    return t;
}

void Inite() {
    memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
    memset(dp, 0, sizeof(dp));

    group = bit_length(d);
    for (int i = 1; i < group; ++i) cnt[i] = 1 << (i - 1), d -= cnt[i];
    cnt[group] = d;

    //for (int i = 1; i <= group; ++i) printf("%d ", cnt[i]);
    //printf("\n");
}

void Solve() {
    cin >> d >> mod;

    Inite();

    for (int i = 1; i <= group; ++i) for (int j = 1; j <= i; ++j) {
        if (j == 1) dp[i - 1][j - 1] = 1;
        dp[i][j] = (dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1] * cnt[i] % mod) % mod;
    }

    long long ans = 0;
    for (int i = 1; i <= group; ++i) ans = (ans + dp[group][i]) % mod;
    cout << ans << endl;
}