【机器学习】Softmax 和Logistic Regression回归Sigmod

二分类问题Sigmod

　　在 logistic 回归中，我们的训练集由 $\textstyle m$ 个已标记的样本构成： $\{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \}$ ，其中输入特征 $x^{(i)} \in \Re^{n+1}$ 。（我们对符号的约定如下：特征向量 $\textstyle x$ 的维度为 $\textstyle n+1$ ，其中 $\textstyle x_0 = 1$ 对应截距项。）由于 logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记 $y^{(i)} \in \{0,1\}$ 。假设函数(hypothesis function) 如下：

$\begin{align} h_\theta(x) = \frac{1}{1+\exp(-\theta^Tx)}, \end{align}$

我们将训练模型参数 $\textstyle \theta$ ，使其能够最小化代价函数：

$\begin{align} J(\theta) = -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) \right] \end{align}$

多分类问题

在一个多分类问题中，因变量y有k个取值，即。例如在邮件分类问题中，我们要把邮件分为垃圾邮件、个人邮件、工作邮件3类，目标值y是一个有3个取值的离散值。这是一个多分类问题，二分类模型在这里不太适用。

　　主要应用就是多分类，sigmoid函数只能分两类，而softmax能分多类，softmax是sigmoid的扩展。

　　Logistic函数只能被使用在二分类问题中，但是它的多项式回归，即softmax函数，可以解决多分类问题。

　　在 softmax回归中，我们解决的是多分类问题（相对于 logistic 回归解决的二分类问题），类标 $\textstyle y$ 可以取 $\textstyle k$ 个不同的值（而不是 2 个）。因此，对于训练集 $\{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \}$ ，我们有 $y^{(i)} \in \{1, 2, \ldots, k\}$ 。（注意此处的类别下标从 1 开始，而不是 0）　

　　对于给定的测试输入 $\textstyle x$ ，我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值 $\textstyle p(y=j | x)$ 。也就是说，我们想估计 $\textstyle x$ 的每一种分类结果出现的概率。因此，我们的假设函数将要输出一个 $\textstyle k$ 维的向量（向量元素的和为1）来表示这 $\textstyle k$ 个估计的概率值。具体地说，我们的假设函数 $\textstyle h_{\theta}(x)$ 形式如下：

$\begin{align} h_\theta(x^{(i)}) = \begin{bmatrix} p(y^{(i)} = 1 | x^{(i)}; \theta) \\ p(y^{(i)} = 2 | x^{(i)}; \theta) \\ \vdots \\ p(y^{(i)} = k | x^{(i)}; \theta) \end{bmatrix} = \frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} } \begin{bmatrix} e^{ \theta_1^T x^{(i)} } \\ e^{ \theta_2^T x^{(i)} } \\ \vdots \\ e^{ \theta_k^T x^{(i)} } \\ \end{bmatrix} \end{align}$

　　其中 $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k \in \Re^{n+1}$ 是模型的参数。请注意 $\frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} }$ 这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。

　　为了方便起见，我们同样使用符号 $\textstyle \theta$ 来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时，将 $\textstyle \theta$ 用一个 $\textstyle k \times(n+1)$ 的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将 $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k$ 按行罗列起来得到的，如下所示：

$\theta = \begin{bmatrix} \mbox{---} \theta_1^T \mbox{---} \\ \mbox{---} \theta_2^T \mbox{---} \\ \vdots \\ \mbox{---} \theta_k^T \mbox{---} \\ \end{bmatrix}$

代价函数

$\textstyle 1\{$ 值为假的表达式 $\textstyle \}=0$ 。举例来说，表达式 $\textstyle 1\{2+2=4\}$ 的值为1 ， $\textstyle 1\{1+1=5\}$ 的值为 0。我们的代价函数为：

$\begin{align} J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }}\right] \end{align}$

值得注意的是，上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为：

$\begin{align} J(\theta) &= -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) + y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) \right] \\ &= - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=0}^{1} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) \right] \end{align}$

可以看到，Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上非常类似，只是在Softmax损失函数中对类标记的 k 个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将 x 分类为类别 $\textstyle j$ 的概率为：

$p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) = \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}} }$ .

对于 $\textstyle J(\theta)$ 的最小化问题，目前还没有闭式解法。因此，我们使用迭代的优化算法（例如梯度下降法，或 L-BFGS）。经过求导，我们得到梯度公式如下：

$\begin{align} \nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} \left( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) \right) \right] } \end{align}$

让我们来回顾一下符号 " $\textstyle \nabla_{\theta_j}$ " 的含义。 $\textstyle \nabla_{\theta_j} J(\theta)$ 本身是一个向量，它的第 $\textstyle l$ 个元素 $\textstyle \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{jl}}$ 是 $\textstyle J(\theta)$ 对 $\textstyle \theta_j$ 的第 $\textstyle l$ 个分量的偏导数。

有了上面的偏导数公式以后，我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中，来最小化 $\textstyle J(\theta)$ 。例如，在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新: $\textstyle \theta_j := \theta_j - \alpha \nabla_{\theta_j} J(\theta)$ ( $\textstyle j=1,\ldots,k$ ）。

当实现 softmax 回归算法时，我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。

Softmax回归与Logistic 回归的关系

当类别数 $\textstyle k = 2$ 时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说，当 $\textstyle k = 2$ 时，softmax 回归的假设函数为：

$\begin{align} h_\theta(x) &= \frac{1}{ e^{\theta_1^Tx} + e^{ \theta_2^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \theta_1^T x } \\ e^{ \theta_2^T x } \end{bmatrix} \end{align}$

利用softmax回归参数冗余的特点，我们令 $\textstyle \psi = \theta_1$ ，并且从两个参数向量中都减去向量 $\textstyle \theta_1$ ，得到:

$\begin{align} h(x) &= \frac{1}{ e^{\vec{0}^Tx} + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \vec{0}^T x } \\ e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x } \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \frac{e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x }}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ 1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \end{bmatrix} \end{align}$

因此，用 $\textstyle \theta'$ 来表示 $\textstyle \theta_2-\theta_1$ ，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 $\textstyle \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }$ ，另一个类别概率的为 $\textstyle 1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }$ ，这与 logistic回归是一致的。