抽象代数定义

抽象代数

群

设 \(G\) 是非空集合，若存在二元运算 \(\cdot\)，满足以下特征：

1. 封闭性：\(\forall a,b\in G,a\cdot b\in G\)

2. 结合律：\(\forall a,b,c\in G,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\)。

3. 有单位元：\(\exist e\in G,\forall a\in G,a\cdot e=e\cdot a=a\)，称 \(e\) 为 \(G\) 的单位元，也称幺元。

4. 存在逆元：\(\forall a\in G,\exist b\in G,a\cdot b=b\cdot a=e\)，\(b\) 为 \(a\) 的逆元。

则称 \((G,\cdot)\) 为 群。

性质

1. $\forall {g_i}_{i=1}^m\in G,g_1\cdot g_2\dots g_m $ 结果与加括号方式无关。

2. 幺元唯一。

3. 逆元唯一。

4. 消去律：$a\cdot c=b\cdot c\Rightarrow a=b,c\cdot a=c\cdot b\Rightarrow a=b $。

半群：若集合与二元运算 \((G,\cdot)\) 只满足第一特征，则称其为 半群。

幺半群：若集合与二元运算 \((G,\cdot)\) 只满足第一、二特征，则称其为 幺半群。

事实上，线段树可以维护区间半群信息，但空区间信息为幺元，故一般说线段树只能维护幺半群。

阿贝尔群：若群 \((G,\cdot)\) 的 \(\cdot\) 运算满足交换律，则称该群为 阿贝尔群（Abel 群）。

环

对于非空集合 \(R\) 与二元运算 \(+,\cdot\)，若：

1. \(\forall a,b\in R,a+b\in R,a\cdot b\in R\)。

2. \((R,+)\) 构成 Abel 群，记单位元为 \(0\)，\(a\in R\) 在 \(+\) 下的逆元为 \(a^{-1}\)。

3. \((R,\cdot)\) 为半群。

4. 分配律，\(\forall a,b,c\in R,a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c 且 (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c\)。

幺环：对于环 \((R,+,\cdot)\)，若 \((R,\cdot)\) 为幺半群，则称该环为 幺环，其幺记作 \(1\)。否则称为 伪环。

除环：对于非零幺环 \((R,+,\cdot)\)，如果对于所有非 \(0\) 元素 \(a\in R\)，都存在乘法逆元，则称该环为 除环。

交换环：对于环 \((R,+,\cdot)\)，如果它的乘法满足交换律，则称 \((R,+,\cdot)\) 为 交换环。

域

一个 交换除环 称为 域。