数论【1】
这是数论专区的第一部分，同时也是最简单的一部分。
Part 1：符号表示&约定
以下是可能用到的符号：
$\max(a,b)$：$a$ 与 $b$ 的较大值
$\min(a,b)$：$a$ 与 $b$ 的较小值
$\lfloor a \rfloor$：实数 $a$ 下取整的值
$\lceil a \rceil$：实数 $a$ 上取整的值
$\mid a \mid$：数 $a$ 的绝对值
$a \mid b$ ：数 $b$ 被 $a$ 整除
$a \nmid b$：数 $b$ 不被 $a$ 整除
$a ≡ b$ $(\text{mod } c)$ ：$a$ 与 $b$ 模 $c$ 同余
$gcd(a,b)$：数 $a$ 和数 $b$ 的最大公约数
$lcm(a,b)$：数 $a$ 和数 $b$ 的最小公倍数
$a$ $!$ ： 数 $a$ 的阶乘的值
约定：
$\overline{abc}$ 表示一个三位整数，$a,b,c$ 分别代表百位，十位，个位的数值。
不特殊说明的情况下，数字默认为十进制整数。
Part 2：整除
从易到难。
① 说明某个位数之和是 $3$ 倍数的数一定能被 $3$ 整除。
分析：
有一个简单的结论：若 $k \mid a$，$k \mid b$，那么 $k \mid a + b$，此处不详细说明。
我们从任意三位数 $\overline{abc}$ 开始。
易知，$\overline{abc}=100a+10b+c$，且这个数的数字和为 $a+b+c$。
将两个值作差，得 $99a+9b=3\cdot(33a+3b)$，所以它是 $3$ 的倍数。
当 $3 \mid a+b+c$ 且 $3 \mid 99a+9b$ 时，它们的和 $100a+10b+c$ 也一定是 $3$ 的倍数，故任意三位数满足该结论。
用同样的方法，把三位数扩展成任意位数，即可证明所有位数的数均满足该结论。
② 证明形同 $\overline{abcabc}$ 的六位数一定能被 $7,11,13$ 整除。
分析：
我们将数字变形一下，可以变为 $1001 \cdot \overline{abc}$。
因为 $1001=7 \times 11 \times 13$，所以 $1001$ 可以被这三个数整除。
因为 $1001 \cdot \overline{abc}$ 是 $1001$ 的倍数，所以它也可以被这三个数整除。
③ 已知 $19 \mid 3m+4n$，求证：$19 \mid 7m+3n$。
分析：
我们设 $3m+4n=19k$，$k∈Z$。
那么，$4n=19k-3m$。
所以：
$$7m+3n$$
$$=7m+\frac{3\cdot (19k-3m)}{4}$$
$$=\frac{57k+19m}{4}$$
$$=\frac{19}{4} \cdot (3k+m)$$
由于 $\gcd(19,4)=1$，且 $3k+m$ 是整数，所以 $19 \mid 7m+3n$。
④ 【NOIP】最大公约数和最小公倍数问题
题意：
给定两个正整数 $X,Y$，请问有多少个有序正整数对 $(a,b)$ 满足 $\gcd(a,b)=X$ 且 $lcm(a,b)=Y$。
$2 \le X \le 10^5$，$2 \le Y \le 10^6$
分析：
在此之前，我们需先证明：$\gcd(a,b) \cdot lcm(a,b)=a \cdot b$：
设 $\gcd(a,b)=d$，那么 $\gcd(\frac{a}{d},\frac{b}{d})=1$
同时：
$$lcm(a,b)=lcm(\frac{a}{d},\frac{b}{d})\cdot d$$
又因为 $\gcd(\frac{a}{d},\frac{b}{d})=1$，所以
$$lcm(\frac{a}{d},\frac{b}{d})=\frac{a}{d} \cdot \frac{b}{d}$$
所以：
$$\gcd(a,b)\cdot lcm(a,b)$$
$$=d\cdot\frac{a}{d} \cdot \frac{b}{d}\cdot d$$
$$=a\cdot b$$
得到这个结论后，这道题就简单了很多，因为 $a \cdot b=X \cdot Y$，确定了枚举的边界。
但是，如果一个一个枚举的话，还是会超时。
那么，我们假定 $a \le b$，那么我们枚举 $a$，只需要从 $1$ 扫到 $\sqrt{X\cdot Y}$。
不过这是有序数对，所以需要注意两点:
- $x ≠ y$ 时，$(x,y)$ 与 $(y,x)$ 不同；
- $x=y$ 时，只能算作一对数。
Part 3：裴蜀定理
定理：关于 $x,y$ 的方程 $a \cdot x+b \cdot y=c$ 有整数解，当且仅当 $\gcd(a,b) \mid c$。
应用：
给出 $n$ 个数 $A_1,A_2,...,A_n$，现求整数序列 $X_1,X_2,...,X_n$，使得 $S=A_1 \cdot X_1+A_2 \cdot X_2+...+A_n \cdot X_n>0$，且 $S$ 最小。
解析：
裴蜀定理只针对两个数，我们可以把它推广成多个数。
所以，关于 $X_1,X_2,...,X_n$ 的方程 $A_1 \cdot X_1+A_2 \cdot X_2+...+A_n \cdot X_n=S$ 有整数解，当且仅当 $\gcd(A_1,A_2,...,A_n) \mid S$。
我们要让 $S$ 最小，所以直接让 $S$ 等于 $\gcd(A_1,A_2,...,A_n)$ 即可。
