图论——拓扑排序

一个问题

我们都知道在很多学校，有着许多的修学科目，但是这些科目却要有先后关系。比如，你要先学习**高等数学**，才可以报**计算机科学**等

现在有一个人把报名学科的先后条件给你，让你找一个合理的方案，使得能够按你的顺序一次性学完整个任务

什么意思

意思是，有很多科目都有先修课程，你要先学完那个先修课程，才可以学这个课程；当然，那个先修课程可能还有自己的先修课程

怎么解决

很多人都知道，我们需要先找到第一个可以学的科目，等到学完以后再看看有没有学科可以学了，以此类推，直到学完为止

那么，这种算法，叫做拓扑排序 (topsort)

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什么是拓扑排序

在一个有向无环图里面，每一个点有入边或出边，问怎样才可以标记到一个点时，它的前驱全部都标记过

最终按照这种顺序排列下来的一条线性表，就是拓扑序列

拓扑排序算法

就像我们上面的例子，你要先把先修学科全部学完，才可以学这一个科目

那我们应该怎么样才能找到第一个可以学习的学科呢？

肯定是找到一个没有先修课程的学科吧

那么，拓扑排序也是一样的，如果这个点的入度为 0，那么代表着这个点**没有前驱**，所以可以直接标记

那么，学完了这个科目，所有以这个科目为先修课的科目均可以进行学习

所以在算法中，每次标记结束后，要删除连接它的所有出边

当然，剩余的点的入度也要随着边的删除而改变

下面给出一个例子

 

3 3    //三个顶点、三条边
3 1    //一的前驱为三
1 2    //二的前驱为一
3 2    //二的前驱为三

第一步，确定每个点的入度

一号点入度为 1，二号点为 2，三号点为 0

 

第二步，从三号点开始

标记三号点，因为从三号点分别有一条通向一号点、二号点的边，所以把一号、二号点的入度分别减一

 

第三步，检查每个点入度

发现一号点入度为 0 ，所以把一号点进行标记

因为有一条一号点到二号点的边，所以二号点的入度减一

 

第四步，继续检查每一个点入度

发现只有二号点了，所以标记二号点，排序结束

所以，最终答案是 3--1--2