第二章上机实践报告

实践题目名称：二分法求函数的零点

 

问题描述：

题意：有函数：f(x)=x5−15x4+85x3−225x2+274x−121 已知f(1.5)>0,f(2.4)<0 且方程f(x)=0 在区间[1.5,2.4] 有且只有一个根，请用二分法求出该根。 提示：判断函数是否为0，使用表达式 fabs(f(x)) < 1e-7

输入格式：无

输出格式：该方程在区间[1.5,2.4]中的根。要求四舍五入到小数点后6位。

 

算法描述：

本题的解决方法可采用二分法，已知 f(1.5)>0, f(2.4)<0, 且函数在此区间有且只有一个零点，则我们可以用二分法不断切割mid的位置从而逐渐减小零点所在的区间范围，在保证右区间大于左区间的前提条件下，直到右区间与左区间的范围小到小于1e-7时，便可输出此值，即为函数零点的位置。

本题采用的分治法，将一开始定义的left取1.5，right取2.4，取mid=（1.5+2.4）/2，然后代入函数f（mid），判定f（mid）大于或小于0，则出现两种可能：

（1）f（mid）>0,则零点的位置在mid的右边，那么mid左边的区间便可删掉不管，只需继续判定mid右边的区间。那么下一步，便是把左区间left值改为mid，即可继续在新的区间里寻找mid继续判定。

（2）f（mid）<0,则零点的位置在mid的左边，那么mid右边的区间便可删掉不管，只需继续判定mid左边的区间。那么下一步，便是把左右区间right值改为mid，即可继续在新的区间里寻找mid继续判定。

采取分治法的好处是让算法的效率提高，如果只是单纯的使用从小到大的顺序依次寻找零点位置，是非常复杂的。注意题目并不是一个确切的数列，1.5到2.4可以分解成无数的数，这样很难找到一个精确到六位小数的数作为零点，计算量太大，而二分法的策略可以避免这种低效率的问题发生，我们只需将一个问题分解成若干个小问题，并解决出小问题，本题最后甚至无需合并子问题，只需不断分解问题直到解决为止即可。

 

算法时间复杂度分析：O（logn），本题给出一个范围，只需进行二分问题求解即可，最多logn次解决问题，其他诸如取中点、f值操作均为O（1），故时间复杂度为O（logn）。

算法空间复杂度分析：O（1），本提并没有进行多余的占用空间操作。

 

心得体会：

对于本次实验的题目，基本上都是可以靠二分法简单高效的解决。而二分法也是我们解决问题的一个很好的思路与想法，在学习二分法后，我们可以运用它，将问题分解简化，并将分解后的子问题求出并合并即可。每个问题可能都会存在一个切入点，我们只需在这个点上切入分解，简化并解决，便可避免傻乎乎停留在思考如何解决大问题的层面上，从而有效的解决原来的问题。

 

分治法的个人体会和思考：

1.分治法一般在有序序列的问题上可以更好发挥它的作用，在有序的序列里分解出无数的小序列求解，本题1.5~2.4也可以看成是一个包含无穷多个数的有序序列；而在无序的序列里，分治法往往较难得到一个良好的解决思路。

2.分而治之的方法一般还是运用在数据较为庞大的问题上，这样可以高效的解决一些大问题。