Kosaraju算法——关于图的后序遍历的特征

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Kosaraju算法是一种常见的求图的强联通分量的算法，该算法先从任意结点开始对原图G进行一次DFS后序遍历，之后依据第一次DFS的结果的反向序列（即根据reverse postordering），对原图的反向图G’进行前序的DFS。在第二次DFS中，每个联通分量即为一个强联通分量。

算法是很简单，不过之前并没有完全搞明白，昨天晚上仔细想了下，总算弄明白了。事实上后序遍历一个图得到的序列包含了原图重要的结构信息，正是这些结构信息保证了第二次DFS能得到正确的结果。

 

先简单阐述结论，第一次后序遍历是为了保证，在第二次对反向图的前序遍历中，先访问到的强联通分量不指向任何未被访问到的强联通分量。

下面将简单证明一下。

假设一个图G，共有m个结点V1, V2, ..., Vm，G的一个强联通分量为S，包含n个结点。从任意结点开始对G进行一次后序遍历，得到后序序列A1, A2, ..., Am。在这个序列中，我们可以找到这样一个最短的连续子序列Ai, Ai+1, ..., Aj，使得S中所有的结点都包含在该子序列中，那么该子序列将满足如下两点：

1. 结点集合{A1, A2, ..., Ai-1}不指向S（即不存在一条边从{A1, A2, ..., Ai-1}中任意一个结点指向S中的某个结点）
2. S不指向结点集合{Aj+1, Aj+2, ..., Am}

这两点非常容易证明，我们知道S是一个强联通分量，S作为一个整体与其他任意的结点都只有单向的边，即对于任意不属于S的结点v，不可能同时存在v指向S的边和S指向v的边（否则强联通分量就是{S+v}了）。集合{A1, A2, ..., Ai-1}和集合{Aj+1, Aj+2, ..., Am}中的所有结点都满足这一条件。

我们先证明第一点，对于集合{A1, A2, ..., Ai-1}中任意结点Vk（1<=k<=i-1），如果Vk指向S，那么当访问到Vk的时候必然会遍历Vk指向S的那条边（注意如果Vk指向S，那么就不可能有S指向Vk的边了），而S是一个强联通分量，访问其中任一结点最终都会访问到整个S，那么在后序序列中，Vk必然出现在包含S的子序列的后边，这与Vk属于{A1, A2, ..., Ai-1}这一条件相左，因此这种情况是不可能出现的。

利用相似的思想我们可以证明第二点。

那么这两条性质对于Kosaraju算法中的第二次DFS有什么作用的？不要忘记在Kosaraju算法中还有重要的一步，那就是第二次DFS是在原始图的逆向图（结点与原图相同，边与原图的边方向相反）上进行的！所以我们第一次DFS得到的后序序列，在反向图上就会呈现出相反的特性：

1. S不指向结点集合{A1, A2, ..., Ai-1}
2. 结点集合{Aj+1, Aj+2, ..., Am}不指向S

考虑结点Am所在的强联通分量，假设包含该强联通分量的最短子序列为Ak, Ak+1, ..., Am，那么套用刚刚提到的特性1，我们有如下结论：在反向图中，Am所在的强联通分量不指向任何其他的强联通分量。所以从Am开始对反向图进行一次前序遍历，所有能访问到的结点均属于同一个强联通分量。接下来就是一个递归的过程了，标记了Am所在的强联通分量中所有的结点之后，剩下的序列满足与原始序列同样的性质，因此只需要逆着后序序列依次对反向图进行前序遍历，就能求得所有的强联通分量。因此，在第二次DFS的过程中，每访问到一个新的强联通分量，总能保证这个强联通分量没有指向未访问的强联通分量的边。

突然有个想法，可惜时间不够了，先留着吧：这个算法是不是可以用来做拓扑排序？