题解 AT3877 【[ARC089C] GraphXY】

参考的博客

在【有趣的思维题】里看到了这道题。

题意：

给出一个\(A\times B\)的矩阵，其中第i行第j列元素为\(d_{i,j}\)，试构造一个有向图，满足：

• 有向图点数\(\le 300\)

• 没有重边和自环

• 图中边有边权，边权\(\in [0,100]\)且是正整数。或者是未知数X或者Y

• 对于所有\(x \in [1,A] \ y\in[1,B]\)，满足未知数\(X=x,Y=y\)时，图中s到t的最短路为\(d_{x,y}\)

看清楚题目了，睁大眼睛。s和t是自己选定的，x和y是在区间内变化的，再读一遍题意。

分析：

当 \(s\) 与 \(t\) 之间的路径上有 \(i\) 个\(x\) ，\(j\) 个 \(y\) ，设 \(f_{i,j}\) 表示此时路径上其余边的最小可能长度。

\(d_{x,y}\ge ix+jy+f_{i,j}\) 。

有：\(d_{x,y}=\min \{ix+jy+f_{i,j}\}\)

---

\(d_{x,y}-ix-jy \le f_{i,j}\)

\(f_{i,j}=\max \{d_{x,y}-ix-jy\}\)

尝试构造一种情况，

连两条长度为 \(100\) ，有 \(101\) 个点的链，一条链所有边权为 \(X\) ，另一条链所有边权为 \(Y\)

设 \(s=1，t=202\)

\(X\) 链的第 \(i\) 个节点和 \(Y\) 链的倒数第 \(j\) 个节点间连一条边权 \(f_{i,j}\) 的边。

如果 \(d_{x,y} \neq \min \{ix+jy+f_{i,j}\}\) 则是无解情况。

否则输出答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f,N=310;
int n,m,f[N][N],d[N][N];
int bmin(int a,int b){ return (a<b)?a:b;}
int bmax(int a,int b){ return (a<b)?b:a;}
int main(){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++)
                scanf("%d",&d[i][j]);
        for(int i=0;i<=100;i++) for(int j=0;j<=100;j++)
                for(int x=1;x<=n;x++) for(int y=1;y<=m;y++)
                        f[i][j]=bmax(f[i][j],d[x][y]-i*x-j*y);
        for(int x=1;x<=n;x++) for(int y=1;y<=m;y++){
                int mn=inf;
                for(int i=0;i<=100;i++) for(int j=0;j<=100;j++)
                        mn=bmin(mn,f[i][j]+i*x+j*y);
                if(mn!=d[x][y]){ puts("Impossible"); return 0; }
        }
        puts("Possible");  printf("202 10401\n");
        for(int i=1;i<=100;i++) printf("%d %d X\n",i,i+1);
        for(int i=102;i<202;i++) printf("%d %d Y\n",i,i+1);
        for(int i=0;i<=100;i++) for(int j=0;j<=100;j++)
                printf("%d %d %d\n",i+1,202-j,f[i][j]);
	puts("1 202");
        return 0;
}