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#回滚莫队 前置知识：莫队。 与树上和带修没什么关系qwq 回滚莫队分为两种：只删不增莫队和只增不删莫队。 突然变的没有那么高大上了🥀 其实确实如此。 回滚莫队只是在普通莫队的基础上增加了撤销操作。它会让程序不出现删除或者插入操作。 在平时的莫队中，插入和删除的复杂度理论上是一样的，但是有些时候插 阅读全文
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#树上莫队 原来莫队还能上树 ####算法简介 很多数据结构都是用某种方法，把树变为序列进行操作。 例如树链剖分，使用用 $dfs$ 序把树强行变成一个序列。 为了发扬这种好用的做法，树上莫队也采用了相似的做法，但它使用的是括号序 $qwq$ ###括号序 ####定义 括号序，是一种 $dfs$ 阅读全文
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#带修莫队 原来莫队还能带修 $qwq$ ####算法简介 普通莫队是不支持修改的…… 但是根据 $DP$ 的思想，我们可以再给莫队加上一个时间维，表示在这次查询之前有多少次的修改。 如果普通莫队每个询问是这样写的 $[l, r]$，那带修莫队就这样 $[l, r, time]$ 带修莫队也是可以 阅读全文
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#普通莫队 ####形式 对于序列上的区间询问问题，如果 $[l, r]$ 的答案可以 $O(1)$ 扩展到 $[l-1,r],[l+1,r],[l,r-1],[l,r+1]$ 的答案，就能够在 $O(n\sqrt{n})$ 的时间复杂度内求出所有答案。 ####概述 将询问离线后，按某种方法排序， 阅读全文
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#kruskal重构树 ####Problem 已知图G，每次询问给定一个位置，长度和k，问 从这个点出发，只能经过不大于这个长度的边，到达的点中，点权第k大的点权是多少。 提示 看到题目中有这句话“只能经过不大于这个长度的边”，就知道，一定与最小生成树有关，因为最小生成树中的边一定是边权最小的，如 阅读全文
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#瓶颈生成树 ####定义 无向图G的所有生成树中，最大边权最小的生成树为瓶颈生成树。 ####最小生成树与瓶颈生成树的区别。 最小生成树一定是瓶颈生成树，但是瓶颈生成树不一定是最小生成树。 证明 关于最小生成树一定是瓶颈生成树这一命题，可以运用反证法证明：我们设最小生成树中的最大边权为 w，如果最 阅读全文
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#次小生成树 ##非严格次小生成树 ####定义 无向图的所有生成树中，边权和 大于等于 最小生成树边权和的生成树。 参考图： 可以想到一个显然的思路，$dfs$ 求出所有生成树，然后选出比最小生成树权值小的第一个生成树。 但是上述方法最坏情况的时间复杂度是 $O( C^{n-1}_m )$，$n$ 阅读全文
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#Miller Rabin 在OI中的应用：判断一个数是否为素数 #定理 Miller Rabin算法的依据需要费马小定理$a^{p-1}\equiv 1(\bmod p)$ 它可以用欧拉定理和威尔逊定理证明，证明略qwq。 在费马小定理被证明后很长一段时间，人们都觉得这是显然的，但是在2016年， 阅读全文
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定义 欧拉函数，写作 $\varphi(n)$，表示小于等于 $n$ 的数中和 $n$ 互质的数的个数。 性质 ###当 $n$ 是质数的时候，有 $\varphi(n) = n - <1$ ###欧拉函数是积性函数。 积性：如果有 $gcd(a,b) = 1$，那么 $\varphi(a×b) = 阅读全文