异或 [异或相关]

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$异或$

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$\mathcal{Description}$

给定 $L, R$, 求
$\sum_{i=L}^R\sum_{j=L}^R\ i⊕j$
$L,R <=10^9$ .

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$\mathcal{Solution}$

假设$L=1, R=4$, 则将所有涉及到的数字转换为 二进制 如下 $↓$,
$\ \\ \begin{bmatrix} 1\ |\ 0\ 0\ 1 \\ 2\ |\ 0\ 1\ 0 \\ 3\ |\ 0\ 1\ 1 \\ 4\ |\ 1\ 0\ 0 \\ \end{bmatrix}$
$按位处理 :$

以 $2^0$位 为例,

$\ \\ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$
每个数字都要与每个数字 异或 并且对答案造成贡献,

$设\ 0\ 的数量为\ num_0, 1\ 的数量的为\ num_1$

1. 当前位置为 $1$, 对答案贡献为 $num_0$ .
2. 当前位置为 $0$, 对答案贡献为 $num_1$ .

综上该位答案为 $2*num_1*num_0*2^0$ .

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$求num_1, num_0:$

$\begin{bmatrix} 0\ 0\ 0 \\ 0\ 0\ 1 \\ 0\ 1\ 0 \\ 0\ 1\ 1 \\ 1\ 0\ 0 \\ 1\ 0\ 1 \\ 1\ 1\ 0 \\ 1\ 1\ 1 \\ \end{bmatrix}$
观察以上序列, 发现若当前位置为 $2^i$位, 则 $000..111...$循环节长度为 $2^{i+1}$.
先来求 $[0, N]$ 中 $2^i$ 位置的答案,
则
$num_0 = \lfloor \frac{N+1}{2^{i+1}} \rfloor* 2^i + min\{(N+1)\%2^{i+1}, 2^i\}\\ \ \\ num_1 = N-num_0+1$

然后 容斥 即可求出 $[L, R]$ 的 $num_0, num_1$ .

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$复杂度 O(logN)$.

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$\mathcal{Code}$

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register

int read(){
        char c;
        int s = 0, flag = 1;
        while((c=getchar()) && !isdigit(c))
                if(c == '-'){ c = getchar(), flag = -1; break ; }
        while(isdigit(c)) s = s*10 + c-'0', c = getchar();
        return s * flag;
}

const int mod = 1e9 + 7;

int L;
int R;
int Ans;
int pw[50];

int Calc(int x, int b){ 
        return ((x+1)/pw[b+1]) * pw[b] + std::min((x+1)%pw[b+1], pw[b]); 
}

void Work(){
        L = read(), R = read();
        Ans = 0;
        for(reg int b = 0; pw[b] <= R; b ++){ 
                int num_0 = Calc(R, b) - Calc(L-1, b), num_1 = R-L+1 - num_0;
                int pluss = (2ll*num_0*num_1 % mod) * pw[b] % mod;
                Ans = (1ll*pluss + Ans) % mod;
        }
        printf("%d\n", Ans);
}

int main(){
        pw[0] = 1;
        for(reg int i = 1; pw[i] <= mod; i ++) pw[i] = pw[i-1] << 1;
        int T = read();
        while(T --) Work();
        return 0;
}