斜率优化动态规划

文章目录

• $斜率优化的作用$
• $斜率优化的内容$
• $斜率优化的实现$
• $斜率优化的变形$
• $相关数学推导补充$

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• $斜率优化的作用$

$F_i = \min(\ F_j + s_i^2+(s_j+L)^2-2s_i(s_j+L) \ )$

形如这个式子 关于i的项 与 关于j的项 混杂(相乘) 的状态转移方程, 可以使用斜率优化来加速 .

接下来以优化这个式子为例说说斜率优化.

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• $斜率优化的内容$

将上方给出的式子去掉 $min$, 仅关于$j$的项放在左边, 关于$i$的项放在右边得 $↓$

$F_j+(s_j+L)^2=2s_i s_j+F_i-s_i^2+2Ls_i$

这个时候原式为 $y=kx+b$ 的形式, 其中

• $y=F_j+(s_j+L)^2$
• $k=2s_i$
• $x=s_j$
• $b=F_i-s_i^2+2Ls_i$

$\because j∈[1,i)$ 且为一个单调递增的正整数数列
$\therefore x,y$都随 $j$ 单调递增.
又 $\because k$ 始终不变
$\therefore$ 上式代表了一个 斜率不变, 随着经过点$(x,y)$的变化, 截距也随之变化的直线 .

暂且称 $(x,y)$ 代表的点为 决策点,

由于单调递增, 决策点 构成的图象为 下凸壳 , 这里给出概念图.

备注: $k_{bc}<k_{cd}$ .

我们需要 截距$b$ 最小进而使答案最优, 即找到一个最优的 决策点 .

$\color{red}{找到第一条 斜率 大于 k 的线段, 过左端点的直线 截距 即为最小值 .}$

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• $斜率优化的实现$

使用 单调队列 维护, 没学过的可以看 这里 了解一下,
具体地说:
对上转移方程, 应当维护斜率从队首到队尾的单调递增队列,

设当前是第 $i$ 个点,

1. 不断弹出队首, 直到 队首 与 次队首 的斜率大于等于$k$ 或 队列长度为 $1$ , 队首即为当前最优的 决策点 .
2. 不断弹出队尾, 直到 队尾 与 次队尾 的斜率小于 次队尾 与 $i$ 的斜率, 将第 $i$ 个点从队尾入队(对后面来说新的决策) .

时间复杂度 $O(N)$ .

经典例题

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• $斜率优化的变形$

1. $k$不确定正负, 此时不能弹出队首, 但是仍然可以维护单调性, 二分查找来弥补, 时间复杂度 $O(NlogN)$ , 例题 , 下有数学解释 .
2. 决策点的横坐标不单调递增, 需要在任意位置插入决策点, $\color{red}{待填坑}$ .

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• $相关数学推导补充$

以 该题 的式子为例, (已经去掉 $\min$),

$F[i] = F[j]+s_t[i]*(s_c[i]-s_c[j])+S*(s_c[N]-s_c[j])$

设 决策 $j$ 比 决策 $k$ 优, 则
$F[j]+s_t[i]*(s_c[i]-s_c[j])+S*(s_c[N]-s_c[j])<F[k]+s_t[i]*(s_c[i]-s_c[k])+S*(s_c[N]-s_c[k])$
化简得
$\frac{F[j]-F[k]}{s_c[j]-s_c[k]}<S+s_t[i]$ .
若 $s_t[i]$ 单调递增, 则 $j$ 在以后不可能比 $k$ 更优了, 所以可以执行弹出队首的操作 .
否则 $j$ 可能在以后的某一个决策中比 $k$ 更优, 不能直接弹出队首 .

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