CF660F Bear and Bowling 4 [斜率优化动态规划]

$Bear\ and\ Bowling\ 4$

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$\mathcal{Description}$
给一个长度为$N$ 的序列 $\{a_i\}$, 求 $\max\limits_{x=1}^{N-k+1}( \sum\limits_{i=1}^k i\cdot a_{x+i-1} )$

$1\leq n\leq 2\times 10^5, |a_i|\leq 10^7$

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$最初想法$
$暴力$: $O(N)$ 枚举 $k$, 再配合前缀和 $O(N)$ 计算答案, 取最优值, 总共 $O(N^2)$.
正解要斜率优化, 回去学习…

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$正解部分$
$n$ 年后, 斜率优化看懂一点了… 没学过的可以点击 这里.

设 $sum_1[i]$ 表示前 $i$ 个 $a_i$ 的前缀和, $sum_2[i]$ 表示前 $i$ 个 $i*a_i$的前缀和, $val[i,j]$表示$i,j$之间的价值 .
则 $val[i, j] = sum_2[j] - sum_2[i-1] - (i-1)*(sum_1[j] - sum_1[i-1])$

化简为 $y=kx+b$ 的形式进行 斜率优化,
$(i-1)sum_1[i-1]-sum_2[i-1]=(i-1)sum_1[j]+val[i,j]-sum_2[j]$
此时

• $y=(i-1)sum_1[i-1]-sum_2[i-1]$
• $k=sum_1[j]$
• $x=i-1$
• $b=val[i,j] - sum_2[j]$.

鉴于求的是最大值, 所以维护上凸壳.
且$k$的正负无法确定, 于是不能使用弹掉队首的方法去找最优决策点 , 只能使用二分去查找队列中第一个比 小于等于 $k$ 的斜率 .

于是枚举右端点 $j$ 的同时将 $j$ 作为一个新的决策加入斜率优化的单调队列中, 用来对以后的 $j$ 提供决策 $i$,

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$实现部分$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define reg register
typedef long long ll;

const int maxn = 2e5 + 10;

int N;
int A[maxn];

ll Q[maxn];
ll sum1[maxn];
ll sum2[maxn];

double X(int i){ return i; }

double Y(int i){ return i*sum1[i] - sum2[i]; }; //!

double slope(int i, int j){ return ( Y(i)-Y(j) ) / ( X(i)-X(j) ); }

ll Calc(int i, int j){ return sum2[j]-sum2[i]-1ll*i*(sum1[j]-sum1[i]); }

int main(){
        scanf("%d", &N);
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++){
                scanf("%d", &A[i]);
                sum1[i] = sum1[i-1] + A[i];
                sum2[i] = sum2[i-1] + 1ll*A[i]*i;
        }
        int tail = 0; ll Ans = 0;
        for(reg int j = 1; j <= N; j ++){
                ll k = sum1[j];
                int l = 0, r = tail;
                while(l < r){
                        int mid = l+r >> 1;
                        if(slope(Q[mid], Q[mid+1]) > k) l = mid+1;
                        else r = mid;
                }
                int i = Q[r];
                Ans = std::max(Ans, Calc(i, j));
                while(tail >= 1 && slope(Q[tail], Q[tail-1]) < slope(Q[tail], j)) tail --;
                Q[++ tail] = j;
        }
        printf("%I64d\n", Ans);
        return 0;
}