NOIP2014 飞扬的小鸟 [提高组]
题目：飞扬的小鸟
网址：https://www.luogu.com.cn/problem/P1941
题目描述
FlappyBird是一款风靡一时的休闲手机游戏。
玩家需要不断控制点击手机屏幕的频率来调节小鸟的飞行高度，让小鸟顺利通过画面右方的管道缝隙。
如果小鸟一不小心撞到了水管或者掉在地上的话，便宣告失败。
为了简化问题，我们对游戏规则进行了简化和改编:
游戏界面是一个长为\(n\)，高为\(m\)的二维平面，其中有\(k\)个管道（忽略管道的宽度）。
小鸟始终在游戏界面内移动。小鸟从游戏界面最左边任意整数高度位置出发，到达游戏界面最右边时，游戏完成。
小鸟每个单位时间沿横坐标方向右移的距离为\(1\)，竖直移动的距离由玩家控制。如果点击屏幕，小鸟就会上升一定高度\(x\)，每个单位时间可以点击多次，效果叠加；如果不点击屏幕，小鸟就会下降一定高度\(y\)。小鸟位于横坐标方向不同位置时，上升的高度\(x\)和下降的高度\(y\)可能互不相同。
小鸟高度等于\(0\)或者小鸟碰到管道时，游戏失败。小鸟高度为\(m\)时，无法再上升。
现在,请你判断是否可以完成游戏。如果可以，输出最少点击屏幕数；否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。
输入格式
第\(1\)行有\(3\)个整数\(n, m, k\)，分别表示游戏界面的长度，高度和水管的数量，每两个整数之间用一个空格隔开；
接下来的\(n\)行，每行\(2\)个用一个空格隔开的整数\(x\)和\(y\)，依次表示在横坐标位置\(0∼n−1\)上玩家点击屏幕后，小鸟在下一位置上升的高度\(x\)，以及在这个位置上玩家不点击屏幕时，小鸟在下一位置下降的高度\(y\)。
接下来\(k\)行，每行\(3\)个整数\(p,l,h\)每两个整数之间用一个空格隔开。每行表示一个管道，其中\(p\)表示管道的横坐标，\(l\)表示此管道缝隙的下边沿高度，\(h\)表示管道缝隙上边沿的高度（输入数据保证\(p\)各不相同，但不保证按照大小顺序给出）。
输出格式
共两行。
第一行，包含一个整数，如果可以成功完成游戏，则输出\(1\)，否则输出\(0\)。
第二行，包含一个整数，如果第一行为\(1\)，则输出成功完成游戏需要最少点击屏幕数，否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。
数据范围
\(5 ≤ n ≤ 10000,5 ≤ m ≤ 1000,0 ≤ k < n,0 < X, Y < m,0 < P < n,0 ≤ L < H ≤ m,L+1 < H\)
输入 #1
10 10 6
3 9
9 9
1 2
1 3
1 2
1 1
2 1
2 1
1 6
2 2
1 2 7
5 1 5
6 3 5
7 5 8
8 7 9
9 1 3
输出 #1
1
6
输入 #2
10 10 4
1 2
3 1
2 2
1 8
1 8
3 2
2 1
2 1
2 2
1 2
1 0 2
6 7 9
9 1 4
3 8 10
输出 #2
0
3
说明/提示
如下图所示，蓝色直线表示小鸟的飞行轨迹，红色直线表示管道。
背包神题。经典的题目。
状态转移方程不难想：\(dp[i,j]=max(dp[i-1,j+y[i]], dp[i-1,j-k*x[i]]+k)\)；代表小鸟当前处在横坐标为\(i\)纵坐标为\(j\)位置上时的最小操作数。枚举\(k\)即可。
考虑到当小鸟飞到顶上的时候，不会死；因而\(dp[i,m]\)可能是由\(dp[i-1,1~m]\)转移过来的。处理的时候单独转移。
其实能更好。考虑：当状态\(dp[i,j]\)是由\(dp[i-1,j-2*x[i]]\)转移过来，那么假设\(dp[i,j-x[i]]\)是从\(dp[i-1,2*x[i]]\)转移过来的，对\(dp[i,j]\)的求解其实可以通过dp[i,j-x[i]]$完成。
进一步，当\(dp[i,j]\)是从\(dp[i-1,j-k*x[i]]\)转移而来，那么，当考虑\(dp[i,j-x[i]]\)时也会从这里转移过来。该转移等价于\(dp[i,j]\)从\(dp[i,j-x[i]]\)转移过来。
由此，我们给出一个新的方程式：\(dp[i,j]=max(dp[i-1,j+y[i]],dp[i,j-x[i]]+1)\)，对于小鸟飞到顶上的情况，我们进行特殊运算时应当考察以下状态：\(dp[i/(i-1),m-x[i]~m]\)即可求解。
事实上，上述的算法还应当注意一个细节。当我们将\(dp[i,j]\)用\(dp[i,j-x[i]]\)更新时，与此同时，\(dp[i,j-x[i]]\)又从\(dp[i-1,j-x[i]+y[i]]\)转移过来，考虑它们本来的定义，会发现这样的转移是有毛病的。压根不会存在同一位置小鸟先下降再上升。
那么，这可以通过求解的顺序解决这种问题。具体细节看代码。
代码如下：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn = 10000 + 5, maxm = 2000 + 5, INF = 1061109567;
int n, m, k, x[maxn], y[maxn], L[maxn], H[maxn], dp[maxn][maxm], s[maxn];
int main()
{
scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);
for(int i = 1; i <= n; ++ i) scanf("%d %d", &x[i], &y[i]);
for(int i = 1; i <= n; ++ i)
{
L[i] = 1, H[i] = m;
}
int l, h, p;
memset(s, 0, sizeof(s));
for(int i = 0; i < k; ++ i)
{
scanf("%d %d %d", &p, &l, &h);
L[p] = l + 1, H[p] = h - 1;
++ s[p];
}
for(int i = 1; i <= n; ++ i) s[i] += s[i - 1];
memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
for(int i = 1; i <= m; ++ i) dp[0][i] = 0;//预处理的关键！！
for(int i = 1; i <= n; ++ i)
{
for(int j = x[i] + 1; j <= m; ++ j)//先处理点击的情况
{
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - x[i]] + 1, dp[i][j - x[i]] + 1);
}
for(int j = m - x[i] + 1; j <= m; ++ j)//处理当小鸟飞到了顶上的状态
{
dp[i][m] = min(dp[i][m], dp[i][j] + 1);
dp[i][m] = min(dp[i][m], dp[i - 1][j] + 1);
}
for(int j = 1; j <= m - y[i]; ++ j)//后处理降落的情况
{
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j + y[i]]);
}
for(int j = 1; j < L[i]; ++ j) dp[i][j] = INF;//及时排除不合法的状态
for(int j = H[i] + 1; j <= m; ++ j) dp[i][j] = INF;
}
int ans = INF;
for(int i = 1; i <= m; ++ i)
{
ans = min(ans, dp[n][i]);
}
if(ans < INF) printf("1\n%d\n", ans);
else
{
bool valid = false;
int i;
for(i = n - 1; i; -- i)
{
for(int j = 0; j <= m; ++ j)
{
if(dp[i][j] < INF)
{
valid = true;
break;
}
}
if(valid) break;
}
printf("0\n%d\n", s[i]);
}
return 0;
}
