扩欧学习笔记

扩展欧几里得？什么鬼？

扩展欧几里得算法是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。除了计算a、b两个整数的最大公约数，此算法还能找到整数x、y（其中一个很可能是负数）。通常谈到最大公因子时, 我们都会提到一个非常基本的事实: 给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得\(ax + by = \gcd(a,b)\)。有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到\(ax+by=\gcd(a,b)\)的整数解。

​ ——摘自百度百科

简单来说，就是求满足\(ax+by=\gcd(a,b)\)的最小整数\(x\)的值

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求解

• 一、由特解求通解

  设有特解\(x_0,y_0\)

  则通解为\(x=x_0+t,y\)

  \(\because ax_0+by_0=\gcd(a,b),ax+by=\gcd(a,b)\)

  \(\therefore ax_0+by_0=ax+by\)

  \(\therefore ax_0+by_0=a(x_0+t)+by\)

  化简得\(y=y_0-\frac{a}{b}t\)

  \(\because y,y_0 \in \mathbb{Z}\)

  \(\therefore \frac{a}{b}t\in\mathbb{Z}\)

  \(\therefore \frac{a/\gcd(a,b)}{b/\gcd(a,b)}t\in\mathbb{Z}\)

  \(\therefore t=\frac{b}{\gcd(a,b)}k\)

  \(\therefore x=x_0+\frac{b}{\gcd(a,b)},y=y_0+\frac{a}{gcd(a,b)}\)

• 二、求特解

  先看辗转相除法

  \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\mod b)\)

  \(\because ax+by=\gcd(a,b),bx_1+(a\mod b)y_1=\gcd(b,a\mod b)\)

  则一定有\(ax+by=bx_1+(a\mod b)y_1\)

  \(\therefore\)该式可变形为\(ax+by=bx_1+(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b)y_1\)

  化简得\(ax+by=ay_1+b(x_1-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*y_1)\)

  \(\therefore x=y_1,y=x_1-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*y_1\)

  这不还是求不出吗

  递归求就行

  如：

  \(72x+46y=\gcd(72,46)\downarrow\)

  \(46x+26y=gcd(46,26)\downarrow\)

  \(26x+20y=\gcd(26,20)\downarrow\)

  \(20x+6y=gcd(20,6)\downarrow\)

  \(6x+2y=\gcd(6,2)\downarrow\)

  \(2x+0y=\gcd(2,0)\)

  此时，\(b=0\)，开始回溯，将\(x=1,y=\forall\)即可（以\(y=0\)为例）

  \(a=2,b=0,x=1,y=0\downarrow\)

  \(a=6,b=2,x=0,y=1\downarrow\)

  \(a=20,b=6,x=1,y=-3\downarrow\)

  \(a=26,b=20,x=-3,y=4\downarrow\)

  \(a=46,b=26,x=4,y=-7\downarrow\)

  \(a=72,b=46,x=-7,y=11\)

• 三、代码

  什么，这不只要\(ctrl+c,ctrl+v\)吗

  \(Code:\)

  void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
      if(!b){
          x=1,y=0;
          return ;
      }
      exgcd(b,a%b,x,y);
      int tp=x;
      x=y,y=t-a/b*y;
  }
  

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让我们来个扩展，也就是扩展扩展欧几里得

求满足\(ax+by=c\)的最小整数解\(x\)

好吧，其实这道题和刚在那道题是一样的

让我们来康康：

\(ax+by=c(c≠0)\downarrow\)

\(\frac{a}{c}x+\frac{b}{c}y=1\downarrow\)

\(\frac{a*\gcd(a,b)}{c}x+\frac{b*\gcd(a,b)}{c}y=\gcd(a,b)\)

是不是和之前那个长得很像？

那我们再像一点：

\(a(\frac{gcd(a,b)}{c}x)+b(\frac{gcd(a,b)}{c}y)=gcd(a,b)\)

还能再像？

我们设\(m=\frac{gcd(a,b)}{c}x,n=\frac{gcd(a,b)}{c}y\)

\(\therefore\)原式变为\(am+bx=gcd(a,b)\)

是不是一样了？

我们用之前的方法求出\(m,n\)的值

易知\(x=\frac{cm}{\gcd(a,b)},y=\frac{cn}{\gcd(a,b)}\)