洛谷 P9847 [ICPC 2021 Nanjing R] Crystalfly
你说得对，但是 pjsk 更好玩捏（ena 误入）。
题意简述
每个点上有一些晶蝶，你从根节点（\(1\) 号节点）开始走，当你到达这个节点的父亲（总不可能先到它的儿子吧……）时，过一段时间晶蝶就会飞走，求你能抓到的晶蝶最大值。
走法
首先肯定不会停住不动吧……
所以最优策略肯定是不断走。
而且时间限制其实是没用的，因为到后面晶蝶都没了你在抓什么……
现在我们考虑走到了 \(u\) 节点，它的儿子分别是 \(v_1,v_2,\cdots,v_k\)。同时我们不考虑以 \(u\) 的子树以外的晶蝶。
其实就是把 \(u\) 当作根节点进行观察……
那么 \(u\) 一共有这么几种走法（注意，往后的“走一步”均代表在一秒的时间内移动）：
零：向上走，再走回来
这样肯定是不优的，因为你最后还是会回来，但是一些晶蝶已经飞走了，所以这样走的两步肯定是不划算的，这种情况就不考虑了（所以是第零种）。
一：走进一个儿子 \(v_i\)，继续往下走
这样的话 \(u\) 的其他儿子肯定是吃不到（就是抓不到晶蝶了，原谅我这个习惯）了。
所以此时就应该把 \(v_i\) 的子树吃完再回退。
二：走到一个儿子 \(v_i\)，再退回来
接着我们就应该走到另外一个儿子了，不然再走到 \(v_i\) 不划算（参考第零种走法）。
那么应该走到哪些孩子呢？
注意到走到另一个孩子，时间已经过去了 \(3\) 秒，所以应该走向 \(t_{v_j}=3\) 的儿子 \(v_j\)（不懂的可以评论问我）。
之后吃掉 \(v_j\) 的子树就好啦！
毕竟再直接回退就没意思了，其他儿子的晶蝶早没了。
如何动态规划？
肯定有人会说：算法标签不都写着嘛，你还有什么好说的。
这种人请跳过这篇题解。
毕竟你上考场又没有标签，所以还是得自己分析的。
众所周知，能够动态规划需要 \(2\) 个条件。
最优子结构
明显，如果每个子树我们都抓到了最多的晶蝶，那么总体来看绝对就是最优解。因为一个节点只会影响直接儿子和兄弟节点，兄弟节点的儿子不会受到影响。
无后效性
每个子树内部怎么抓不影响其他子树，所以我们不需要关心怎么抓的晶蝶。
那么我们已经明确了可以用动态规划，现在就来思考怎么实现吧！
动态规划的实现
我们用三个数组记录状态（你用二维数组我也不拦你）：
\(f_i\) 记录 \(i\) 的子树（不包括 \(i\)）最多能抓多少晶蝶；
\(g_i\) 记录 \(i\) 的子树（包括 \(i\)）最多能抓多少晶蝶；
\(h_i\) 记录 \(i\) 的子树（包括 \(i\)）在直接儿子的晶蝶全部飞走的情况下最多能抓到多少晶蝶。
\(g_i\)
明显，\(g_i\) 就比 \(f_i\) 多了一个根节点（指子树范围内）。
所以：
\(h_i\)
由于儿子的晶蝶都没了，你只要不走下去就不会惊扰到子树里其余的晶蝶。
所以我们把每个儿子的 \(f\) 加起来就好啦！
我们假设 \(i\) 的儿子分别是 \(v_1,v_2,\cdots,v_m\)，就有：
\(f_i\)
重点来了！！！
首先如果用第一种走法，只有某个儿子 \(v_j\) 是能被吃到的，因此
而如果运用第二种走法，第一个走到的儿子 \(v_j\) 的直接儿子就吃不到了（自己思考一下），也就是 \(h\)，而第二个走到的儿子 \(v_u\) 可以吃到 \(g\)，其余只能吃到 \(f\)。
那 \(v_j\) 怎么选呢？
明显对于任意一个儿子（当然要 \(t=3\)），你选了它和没选它，差的只是它自己，再往下的最优还是最优。
所以我们要找的就是 \(t=3\) 中 \(a\) 最大的儿子。
于是：
其中 \(v_u\) 就是我们选到的第二个儿子。
综上，就有
一些小问题（优化）
求和
明显，如果直接求 \(\sum_{k=1}^{m}f_{v_k}\)，每个点都会作为儿子被访问一遍（不要纠结根节点啦），总共就是 \(O(n^2)\)，不行。
那就预处理呗。搜到某个节点就先处理出来不久好了？
我们用 \(s\) 记录这个和，即
那么就有
是不是简便很多？
\(v_u\) 怎么求？
最朴素的做法是每次找一遍最大值，时间复杂度 \(O(n^2)\)，完蛋……
于是我们需要预处理最大值。
但是可能会有冲突（\(v_j=v_u\)）怎么办？那就同时记最大值和次大值（可以相等）就好啦！当然同时记得要记录位置，用 pair<int, int> 就好了。
所以这个也顺利解决了。
论 \(g_i\)
没错，\(g_i\) 其实是辅助理解用的，完全可以直接替换成 \(f_i+a_i\)。
状态转移方程
AC 代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
// 说白了就是不喜欢 #define int long long
const int N = 101000; // 数组不够大，亲人两行泪 qwq
const ll inf = 1ll << 60;
vector<int> e[N];
int n, a[N], t[N];
ll f[N], h[N];
void dfs(int u, int par) {
ll s = 0;
int ma = 0;
for (auto v : e[u]) if (v != par) {
dfs(v, u);
s += f[v]; // 统计和
ma = max(ma, a[v]); // f'
}
f[u] = s + ma;
pair<ll, int> ma1(-inf, 0), ma2(-inf, 0); // 最大值和次大值，第一位是数，第二位是位置
for (auto v : e[u]) if (v != par && t[v] == 3) {
pair<ll, int> ma3(a[v], v);
if (ma2 < ma3) ma2 = ma3;
if (ma1 < ma2) swap(ma1, ma2); // 更新
}
for (auto v : e[u]) if (v != par) {
ll tmp = s + h[v] - f[v];
if (v == ma1.second) tmp += ma2.first;
else tmp += ma1.first;
f[u] = max(f[u], tmp); // f''
}
h[u] = s + a[u]; // h
}
void solve() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
e[i].clear();
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &a[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &t[i]);
for (int i = 2; i <= n; i++) {
int u, v;
scanf("%d%d", &u, &v);
e[u].push_back(v);
e[v].push_back(u);
}
dfs(1, 0);
printf("%lld\n", f[1] + a[1]);
}
int main() {
int T;
scanf("%d", &T);
for (; T; T--) {
solve();
}
}
浙公网安备 33010602011771号