NOIP2007 矩阵取数游戏

题意简化

传送门
给定一个n*m的矩阵,在每一行中取m次数,每次取数只能从行首或尾取数,第i次取数的贡献是 \(2^i*该点值\) ,操作n行,求最大答案
n,m<=80

题解

不难发现行与行之间是完全独立的,所以单独处理每一行就好了
考虑区间DP
设 dp[i][j] 表示区间i~j的答案最大值
则有 \(dp[i][j]=max(num[i]*q[m-(i-j)]+dp[i+1][j],num[j]*q[m-(i-j)]+dp[i][j-1])\)
其中 m-(r-l) 是当前操作次数 (想想为什么)
num表示原数,q[i]表示 2^i 我也不知道为什么要用q,或许是因为快速幂习惯了???

然后记搜一下就好了

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define ll long long
#define get getchar()
#define in inline
in int read()
{
	int t=0; char ch=get;
	while(ch<'0' || ch>'9') ch=get;
	while(ch<='9' && ch>='0') t=t*10+ch-'0',ch=get;
	return t;
}
__int128 n,m,dp[101][101],q[80],num[1001],ans;
in __int128 dfs(int l,int r)
{
	if(dp[l][r]!=-1)return dp[l][r];
	if(l!=r)dp[l][r]=max(num[l]*q[m-(r-l)]+dfs(l+1,r),num[r]*q[m-(r-l)]+dfs(l,r-1)); //当前区间未知
	else
		dp[l][r]=num[l]*q[m]; //当前区间只剩下一个数了
	return dp[l][r];
}
in void out()
{
	char s[1001];int tot;
	while(ans)
	{
		s[++tot]=(ans%10)+'0';
		ans/=10;
	}
	for(re int i=tot;i>=1;i--)putchar(s[i]);
	cout<<endl;
} //我也不知道为什么,好像int128只能这样输出(雾???
int main()
{
	n=read(),m=read(),q[0]=1;
	for(re int i=1;i<=m;i++)q[i]=q[i-1]*2;
	for(re int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(re int j=1;j<=m;j++)num[j]=read();
		memset(dp,-1,sizeof(dp));
		ans+=dfs(1,m);
	}
	if(ans==0)
		cout<<0;
	else
		out();
	return 0;
}