离散数学左孝凌------第七章图论

图的基本概念

一般图：

所有点的度数之和为边数的2倍

可图化表示度数列的奇度定点的个数为偶数个。可简单图化表示\(d(v) \le \delta (G)\)\(d(v) \le \delta (G)\)

任何无向图都有\(k(G)\le \lambda (G)\le \delta(G)\)\(k(G)\le \lambda (G)\le \delta(G)\)

若有向图为强连通，则一定存在一条经过所有点的至少一次的回路。

有向图是单连通图，则至少存在一条经过G中所有点的至少一次的通路。

生成子图的连通分支数大于等于原图的连通分支数

二部图：

所有边的两点分别存在于二部图的两个顶点集。

无向图为二部图当且仅当G中无奇圈。

欧拉图

一次且仅一次行遍所有的边的路径

定理：

无向图是欧拉图，当且仅当G是连同图，且无没有奇度顶点。

无向图是半欧拉图，当且仅当G是连通的且只有两个奇度顶点。

有向图是欧拉图，当且仅当G是强连通的且每个点的入度等于出度。

有向图是半欧拉图，当且仅当G是单连通的且且有两个奇度顶点，且其中一个定点的入度比出度大1，另外一个顶点的出度比入度大1.，其余各点的入度等于出度。

G是非平凡的欧拉图，当且仅当G是连通的，且是若干个边不重合的圈的并。

Fleury算法：

随机选起始点

不要选桥。

哈密顿图：

经过所有顶点一次且仅一次。

平凡图是哈密顿图

必要条件：

若G是哈密顿图，那么对于任意的\(V_1\subset V\and V_1\ne \varnothing\)\(V_1\subset V\and V_1\ne \varnothing\)有

\[p(G-V_1)\leq |V_1| \]
\[p(G-V_1)\leq |V_1| \]

若G是半哈密顿图，那么对于任意的\(V_1\subset V\and V_1\ne \varnothing\)\(V_1\subset V\and V_1\ne \varnothing\)都有

\[p(G-V_1)\le|V_1| + 1 \]
\[p(G-V_1)\le|V_1| + 1 \]

可能那缺少的那一条边就是桥

若任意两个不相邻的顶点的度数之和\(d(u),d(v)\)\(d(u),d(v)\)都有:

\[d(u)+d(v)\ge n-1 \]
\[d(u)+d(v)\ge n-1 \]
则一定存在哈密顿通路

若G为n阶无向图，若对于每个G中的仍以两个不相邻的顶点\(u,v\)\(u,v\)都有

\[d(u)+d(v)\ge n \]
\[d(u)+d(v)\ge n \]
则一定存在一条哈密顿回路

n阶竞赛图都有哈密顿图

树：

连通无回路称为树，悬挂顶点为树叶，度数大与2为分支点。

等价定理

G是树

G的任意两点之间存在唯一的通路

G中无回路且 m = n - 1（m为边，n为顶点）

G是连通的且m = n - 1

G是连通的且所有边均为桥

G中没有回路，当加边之后，存在唯一一条经过新边的回路。

T是n阶非平凡的无向树，则T中至少存在两片树叶。（握手定理）

生成树（继承与树）：

如果无向图的子图是树，那么称子图为生成树。G在T中的边为树枝，不在的为弦。所有弦的导出子图为余树

无向图有生生成树，当且仅当无向图连通。破除圈

G为n阶m条边的无向连通图，则\(m\ge n - 1\)\(m\ge n - 1\)

任意一条弦对应的生成树中的圈是唯一的。

有生成树中的一条树枝与弦构成的割集的集合为基本割集系统。割集秩为（n-1）

基本回路系统：

把生成树与弦构成的回路放置在集合中，此为一个基本回路。

若干个边不同的圈的并称为广义回路。

最小生成树：

连通带权图的生成树中权最小的树为最小生成树。

排序边的权重，从最小的里面挑。

根树：

若有向图的基图是无向树，那么这个有向图就是一个有向树。一个点为入度为0，其余各点的入度为1，出度不为0的点为分支点。

r叉树，每个节点至多有r个儿子，有序则为r叉有序树

恰好r个，则为r叉正则树，有序定义同上

每个树叶的层数均为树高，则为r叉完全正则树

根树的导出树为根子树

左右子树

有权2叉树中权最小的树为最优2叉树

Huffman算法：

选择权之和最小的节点组成一颗树。其权为两个儿子权之和，产生新节点

直到指存在一个入度为0的点时终止。

最优前缀码，左侧为0右侧为1

平面图：

如果无向图可以画在平面上，边与边之间不相交，则称为平面图。

平面图加环加边后还是平面图

平面图的平面嵌入存在多个面，组成面的边的数为面的次数，

平面图的面的次数之和为边数的2倍

若平面图的任意两个不相邻的两点加一条边，都不是平面图，则称原平面图为平面嵌入。

极大平面图是连通的，且当阶数大与等于3时没有割点和桥（反证法）

简单连通的无向图，则极大平面图时，每个面次数均为3

欧拉公式：

连通平面图的顶点数，边数，面数分别为n,m,r则\(n-m+r=2\)\(n-m+r=2\)

若图存在k个连通分支，则\(n-m+r=k+1\)\(n-m+r=k+1\)

连通平面图,每个面的次数l>=3边数m与顶点数n之间有如下关系\(m\le \frac{l}{l-2}(n-2)\)\(m\le \frac{l}{l-2}(n-2)\)

度数和\(\sum d(v) = \sum^rM(r)\)\(\sum d(v) = \sum^rM(r)\)度数和等于面的次数和

\(K_5,K_{3，3}\)\(K_5,K_{3，3}\)都是非平面图

极大平面图的度数之和\(2m=3r\)\(2m=3r\),\(n-m+r=2\)\(n-m+r=2\)

插入2度顶点，消去二度顶点，（不是收缩！！）

若两图同构，或者说反复插入，消去2度点后同构，称两图同胚

若G为平面图，当且仅当G不含有与\(K_5,K_{3,3}\)\(K_5,K_{3,3}\)同胚的子图。且不含有可以收缩为\(K_5,K_{3,3}\)\(K_5,K_{3,3}\)的子图

对偶图，面变成点，穿过所有边。环存在于悬挂顶点。

着色问题：

关于点的集合：

点支配集：点支配点，存在边，有点类似与二部图但是允许集合内部点连接，顶点最少的支配集为最小支配集记作\(\gamma_0(G)\)\(\gamma_0(G)\)

点覆盖集：点覆盖边，覆盖所有边，最少的为最小点覆盖集记作\(\alpha_0(G)\)\(\alpha_0(G)\)

点独立集：点与点之间不存在关联边，不相邻，顶点数最多的点独立集为最大点独立集，记作\(\beta_0\)\(\beta_0\)

关于边的集合：

边覆盖集：支配所有点，边数最小为最小边覆盖集，记作\(\alpha_1(G)\)\(\alpha_1(G)\)

边独立集（匹配）：边与边不相邻，最大的为最大匹配，记作\(\beta_1(G)\)\(\beta_1(G)\)

与匹配边关联的点为包和点，否则为非包和点

每个点都是饱和点，那么为完美匹配

匹配边与非匹配边交替组成的路径为交错路径。起点和终点都是非包和点的交错路径为可增广的交错路径

n阶图没有孤立点：

对于每个非饱和点都取一个边与之相连，组成最小边覆盖集

存在一个最小边覆盖集，若出现相邻边，则删去一条边，直到没有相邻，则为最大匹配

\(\alpha_1 + \beta_1 = n\)\(\alpha_1 + \beta_1 = n\)

边覆盖集与边独立集完全相等的时候为完美匹配

M为G一个匹配，M为最大匹配当且仅当G中不包含关于M的可增广交错路径。

二部图中的匹配：

若匹配集M=\(V_1\)\(V_1\)则为完备匹配。

相异性条件，二部图\(G<V_1,V_2,E>, |V_1|\le|V_2|\)\(G<V_1,V_2,E>, |V_1|\le|V_2|\),当\(V_1\)\(V_1\)中任意k个点至少与\(V_2\)\(V_2\)中k个顶点相邻时存在完备匹配。

't'条件：\(存在正整数t\)\(存在正整数t\)，使得\(V_1\)\(V_1\)中每个点都至少关联\(t\)\(t\)条边，而\(V_2\)\(V_2\)中每个点至多关联\(t\)\(t\)条边，则存在完备匹配。

点着色：

相邻点颜色不同，颜色数为k，若可着色，那么称为k可着色

最小的着色数为色数

对于任意无环图：

\[X(G)\le \Delta(G) + 1 \]
\[X(G)\le \Delta(G) + 1 \]

面着色转换为对偶图的点着色问题。

边着色：

相邻边颜色不同，

简单图的边着色值可能取\(\Delta, \Delta + 1\)\(\Delta, \Delta + 1\)

二部图的边着色值等与\(\Delta\)

MushRain