离散数学左孝凌版本--------第五章代数系统

第五章代数结构

代数系统的运算和性质

闭运算：集合A中的运算其结果还在A中

代数系统

其运算定义可视为实数集合加减乘除的推广

注意：若B是A的逆元则A也是B的逆元，左右逆元不一定存在存在也不一定唯一，左走逆元即使都存在也不一定唯一

半群

广群：是代数系统非空集合S中的一个二元运算，是可封闭的$<S,*>$为广群

半群：代数系统$<S,*>$是非空集合，*是S上的一个二元运算，

*是可封闭的

是可结合的$x*(y*z)=(x*y)*z$ 称其为半群

含幺半群：半群含有幺元则为含幺半群。

群：若含幺半群中任意的元素都有逆元，那么说此代数系统为群。下一节再给一次定义

子半群：$<S，*>$是一个半群，B属于S，在B上封闭那么$<B,*>$也是一个半群，是前者的子半群

有限半群的性质

含有幺元的半群称为独异点

群与子群

1.证明封闭可结合（半群），

2.有幺元

3.任何一个元素都有逆元

群的性质

子群及其性质

子群的判定：($<S,*>是<G,*>$的子群)

先判S是G的非空子集

两条：封闭性存在逆元

一条：任意元素ab都有$a*b^{-1}\subseteq S$

判断群的有限子集是群：只需要验证封闭性即可B是G的非空子集，B是有限集，正要验证封闭即可

小结

阿贝尔群和循环群

关于幂的运算性质如下

\[\begin{align} &(1)&\forall a\in G, (a^{-1})^{-1} = a\\ &(2)&\forall a, b\in G, (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}.\\ &(3)&\forall a\in G, a^na^m = a^{m+n}\\ &(4)&\forall a \in G, (a^n)^m = a ^{nm}\\ &(5)&若G是交换群，则(ab)^n =a^nb^m \end{align} \]

<G,*>为群，且|G|=n则G为循环群的充要条件是G中存在一个阶为n的元素a

陪集和拉格朗日定理

平凡子群：之前在谈论平凡子代数系统的时候提过，这里的平凡子群就是那个最小的子群和最大的子群。G,{e}

任何质数阶的群不可能有非平凡子群

<G,*>是n阶有限群e是幺元，则有：

对任意的$a\in G$,a的阶必是n的因子从而$a^{n}=e$

如果n为质数则<G,*>一定是循环群

小结

同态与同构

两个同构的代数系统它们之间的同构映射不一定唯一

可以看成本质相同形式不同的代数系统

如果UV同构那VU也必定存在同构映射$f^{-1}$ 互为同构

同构在集合中就是等价关系

证明省略

环与域

定义：

环：设$<R, +, \cdot>$$为一个代数系统，且满足以下条件：

$<R, +>$为一个交换群（阿贝尔群。

$<R, \cdot>$为一个半群。

$\cdot 对 +$$\cdot 对 +$存在分配律

则称代数系统$<R, +, \cdot>$为一个环，可以理解为加法与乘法。

规定：

环中加法的单位元为 0，逆元为

环中乘法的单位元为1，逆元为$x^{-1}$(不一定存在逆元)

由子代数系统可以知道，环也可以定义子环，也就是对于环的某一个子集，仍然满足所有的环中运算，且封闭，那么称为一个子环，同样的同态同构也可以定义。

特殊环：

环中乘法存在交换律，那么称为交换环。

乘法存在单位元，则为含幺环

群中乘法无零因子，则称为无因子环，否则称零因子环

无零因子的交换含幺环，则称为整环

整环中每个元素都有乘法逆元，且总元素数大于等于2，则称为域（实数加法乘法构成域）。

定理：

设$<R, +, \cdot>$为一个环，那么

$\forall a \in R, a0 = 0a = 0$

$\forall a, b \in R, (-a)b = a(-b) = -ab$

$\forall a, b, c \in R, (a - c)b = ab - cb$

$\sum_{i=1}^{n}a_i\sum_{k=1}^{m}b_k = \sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}a_ia_k$(数学归纳法)