离散数学左孝凌版本--------第五章代数系统

第五章代数结构

代数系统的运算和性质

img

闭运算:集合A中的运算其结果还在A中

代数系统
img

其运算定义可视为实数集合加减乘除的推广

imgimg

imgimg

imgimg

imgimg

img

imgimg

img

imgimg

img img

注意:若B是A的逆元则A也是B的逆元,左右逆元不一定存在存在也不一定唯一,左走逆元即使都存在也不一定唯一

imgimg

img img

img

半群

广群:是代数系统非空集合S中的一个二元运算,是可封闭的\(<S,*>\)为广群

半群:代数系统\(<S,*>\)是非空集合,*是S上的一个二元运算,

  1. *是可封闭的
  2. 是可结合的\(x*(y*z)=(x*y)*z\) 称其为半群

含幺半群:半群含有幺元则为含幺半群。

群:若含幺半群中任意的元素都有逆元,那么说此代数系统为群。下一节再给一次定义

子半群:\(<S,*>\)是一个半群,B属于S,在B上封闭那么\(<B,*>\)也是一个半群,是前者的子半群

img img

有限半群的性质

imgimg

含有幺元的半群称为独异点

imgimg

img

群与子群

img img
img
img

1.证明封闭可结合(半群),

2.有幺元

3.任何一个元素都有逆元

群的性质

img img

imgimg

img

子群及其性质

imgimg

img

子群的判定:(\(<S,*>是<G,*>\)的子群)

先判S是G的非空子集

  1. 两条:封闭性 存在逆元

  2. 一条: 任意元素ab都有\(a*b^{-1}\subseteq S\)

判断群的有限子集是群:只需要验证封闭性即可B是G的非空子集,B是有限集,正要验证封闭即可

img
小结
img img

阿贝尔群和循环群

imgimg

关于幂的运算性质如下

\[\begin{align} &(1)&\forall a\in G, (a^{-1})^{-1} = a\\ &(2)&\forall a, b\in G, (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}.\\ &(3)&\forall a\in G, a^na^m = a^{m+n}\\ &(4)&\forall a \in G, (a^n)^m = a ^{nm}\\ &(5)&若G是交换群,则(ab)^n =a^nb^m \end{align} \]

img

<G,*>为群,且|G|=n则G为循环群的充要条件是G中存在一个阶为n的元素aimg

陪集和拉格朗日定理

img

imgimg

img

img

平凡子群:之前在谈论平凡子代数系统的时候提过,这里的平凡子群就是那个最小的子群和最大的子群。G,{e}

任何质数阶的群不可能有非平凡子群

<G,*>是n阶有限群e是幺元,则有:

  1. 对任意的\(a\in G\),a的阶必是n的因子从而\(a^{n}=e\)
  2. 如果n为质数则<G,*>一定是循环群img
小结

img

同态与同构

imgimg

img img

两个同构的代数系统它们之间的同构映射不一定唯一

可以看成本质相同形式不同的代数系统

如果UV同构那VU也必定存在同构映射\(f^{-1}\) 互为同构

同构在集合中就是等价关系img

img

证明省略

img img img img img

环与域

定义:

环:设\(<R, +, \cdot>\)$为一个代数系统,且满足以下条件:

  1. \(<R, +>\)为一个交换群(阿贝尔群。
  2. \(<R, \cdot>\)为一个半群。
  3. \(\cdot 对 +\)\(\cdot 对 +\)存在分配律

则称代数系统\(<R, +, \cdot>\)为一个环,可以理解为加法与乘法。

规定:

环中加法的单位元为 0, 逆元为

环中乘法的单位元为1,逆元为\(x^{-1}\)(不一定存在逆元)

由子代数系统可以知道,环也可以定义子环,也就是对于环的某一个子集,仍然满足所有的环中运算,且封闭,那么称为一个子环,同样的同态同构也可以定义。

img img

特殊环:

  1. 环中乘法存在交换律,那么称为交换环。
  2. 乘法存在单位元,则为含幺环
  3. 群中乘法无零因子,则称为无因子环,否则称零因子环
  4. 无零因子的交换含幺环,则称为整环
  5. 整环中每个元素都有乘法逆元,且总元素数大于等于2,则称为域(实数加法乘法构成域)。

定理:

\(<R, +, \cdot>\)为一个环,那么

  1. \(\forall a \in R, a0 = 0a = 0\)
  2. \(\forall a, b \in R, (-a)b = a(-b) = -ab\)
  3. \(\forall a, b, c \in R, (a - c)b = ab - cb\)
  4. \(\sum_{i=1}^{n}a_i\sum_{k=1}^{m}b_k = \sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}a_ia_k\)(数学归纳法)
img img img

imgimg

小结

img

整章总结及习题

imgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimgimg

posted @ 2023-01-30 13:04  SilveryZz  阅读(183)  评论(0)    收藏  举报