博弈论笔记

NIM游戏：

n堆石子，每堆数量{a1,a2,a3...an}，每次移动是在一个石堆中取走任意数量（至少一个）的石子，当轮到的一方所有的石子堆都是空的时，判负。

---

先引入一个东西

判定引理：

• 终局为必败局面（a1=a2=a3=...an=0）。
• 对于任意必胜局面，都存在一种合法的必败局面。（你不按必胜策略走也有可能输）。
• 对于必败局面，进行任何操作，都会得到必胜局面。（对方只要按最优策略走，怎么搞都是输）。

方一：

将每种局面看成一个节点，让所有节点形成一个DAG（有向无环图），再爆搜（听着就是要爆）。

举个例子：三堆石子时

（0，0，0）必败

（0，0，n）必胜

（0，1，1）必败

（0，1，n）必胜

（0，n，n）必败

就这样推下去。

方二：

Bouton's THeorem（我也不知道是什么）

对于一个Nim游戏的局面定义：

sg（S）=a1^a2a3^...an

若sg（x）=0,为必败局面 sg(x)!=0为必胜局面；

如（1，1，3）sg值为1¹3=3,必胜；

有向图游戏：

一个DAG，一个棋子在上边，双方轮流推动它沿着有向边移动，直到面对棋子无路可走的人判负

---

其实Nim游戏就是一种有向图游戏（每种情况看成节点）

对判定引理的数学描述sg函数：

首先定义mex运算为最小的不属于这个集合的自然数

如mex{0，1，2，4}=3，mex{2，3，5}=0；mex{空集}也是0；
则

sg（x）=mex

sg(x)=0必败局面；sg（x）!=0,必胜局面；

如上面的Nim游戏：假设有两堆石子（0，0）的sg=0；

则由于（1，0）只可以推向（0，0），所以（1，1）的sg=1；

同理，（0，2）可以推向（0，1），（0，0），所以（0，2）的sg=2；

似乎这个东西没啥用，又是sg又是mex花里胡哨的。

其实此时确实不如直接看判定引理的文字描述来的清晰，但是在另一种题里就不一样了。

---

有向图游戏的和:

就是n局有向图游戏同时玩，两人轮流走，一次只能动其中一局游戏的一颗棋子，直到无棋子可走的人判负。

类似以前在宿舍打斗地主的时候有人会出个将我军，我反手一个闪。

用Nim游戏做例子的话就是n局Nim游戏一起玩，一人一次只能抽一局中的一个堆来拿石子。

此时判定引理就废了，因为判定引理只适用于单局游戏。此时sg却仍然适用，不过变成了

sg(x)= sg(x1)^sg(x2)sg(x3)...sg(xn)

此时sg就有用多了。

其实那个Bouton's THeorem也是一样的道理，把n局只有一堆石子的Nim游戏同时玩其实就是一局有n堆石子的Nim游戏。

题目：

P1247 取火柴游戏（n堆石子Nim游戏）

P1290 欧几里德的游戏

P2575 高手过招（有向图游戏的和）